Projektiver Lim. topo. Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:26 Di 03.05.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $I$ partiell geordnete, gerichtete Menge, [mm] $(G_i)_{i \in I}$ [/mm] eine Familie topologischer Gruppen, [mm] $(G_i, f_{ij})$ [/mm] projektives System.
Zeigen Sie:
(a) $G:= [mm] \underleftarrow{lim} \; G_i [/mm] := [mm] \{(\sigma_i)_{i \in I} \in \produkt_{i \in I}G_i \;|\; f_{ij}(\sigma_j)=\sigma_i$ für $i \leq J\}$ [/mm] versehen mit der durch Einschränkung der Produkttopologie gegebenen Topologie, mit den kanonischen Epimorphismen [mm] $f_i: [/mm] G [mm] \to G_i$ [/mm] erfüllt die universelle Eigenschaft des projektiven Limes.
(b) Der projektive Limes ist eindeutig bis auf Isomorphie (wobei man unter einem Isomorphismus von topologischen Gruppen einen Isomorphismus von Gruppen versteht, der zudem Homöomorphismus ist). |
Hallo,
ich habe zu beiden Aufgabenteilen Ansätze, bin mir aber unsicher.
(a) Sei H topologische Gruppe mit Abbiildungen [mm] $g_i: [/mm] H [mm] \to G_i$ [/mm] sodass [mm] $g_i [/mm] = [mm] f_{ij} \circ g_j$ [/mm] für $i [mm] \leq [/mm] j$.
Sei $x [mm] \in [/mm] H$. Wir setzen [mm] $\sigma_i [/mm] = [mm] g_i(x) \in G_i$ [/mm] für $i [mm] \in [/mm] I$.
[mm] $\Rightarrow \sigma_i [/mm] = [mm] g_i(x) [/mm] = [mm] f_{ij}\circ g_j(x) [/mm] = [mm] f_{ij}(\sigma_j) [/mm] = [mm] \sigma_j|_{G_i}$ [/mm] für $i [mm] \leq [/mm] j$
[mm] $\Rightarrow g_i(x) [/mm] = [mm] g_j(x)|_{G_i}$ [/mm] für $i [mm] \leq [/mm] j$.
Außerdem gibt es für $i,j [mm] \in [/mm] I$ stets ein $k [mm] \in [/mm] I: i,j [mm] \leq [/mm] k [mm] \Rightarrow g_i(x) [/mm] = [mm] \sigma_i [/mm] = [mm] \sigma_k|_{G_i}$ [/mm] und [mm] $g_j(x) [/mm] = [mm] \sigma_j [/mm] = [mm] \sigma_k|_{G_j}$. [/mm] Damit stimmen [mm] $\sigma_i$ [/mm] und [mm] $\sigma_j$ [/mm] auf dem Schnitt [mm] $G_i \cap G_j$ [/mm] überein.
Die [mm] $\sigma_i$ [/mm] setzen sich zu einem [mm] $\sigma$ [/mm] Element aus G zusammen. Setzt man nun für alle $x [mm] \in [/mm] H: g(x) = [mm] \sigma$ [/mm] (also das eben konstuierte [mm] $\sigma$), [/mm] so erhält man den gewünschten Gruppenhomomorphismus mit [mm] $(f_i \circ [/mm] g)(x) = [mm] f_i(\sigma) [/mm] = [mm] \sigma_i [/mm] = [mm] g_i(x) \Rightarrow f_i \circ [/mm] g = [mm] g_i$.
[/mm]
Ist das soweit richtig? Muss ich noch zeigen, dass das so konstruierte g ein Gruppenhomomorphismus ist, oder ist das klar, da ja die [mm] $g_i$ [/mm] per Definition Gruppenhomomorphismen sind?
(b) Sei neben G mit den Abbildungen [mm] $f_i$ [/mm] ein weiterer projektiver Limes durch H mit den Abbildungen [mm] $g_i$ [/mm] gegeben. Aus Aufgabenteil (a) folgt dann, dass es einen Homomorphismus g gibt : $H [mm] \to [/mm] G: [mm] g_i [/mm] = [mm] f_i \circ [/mm] g$ und $h: G [mm] \to [/mm] H, [mm] f_i [/mm] = [mm] g_i \circ [/mm] H [mm] \Rightarrow g_i=g_i \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g$ für alle $i [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] h [mm] \circ [/mm] g = id.$ Also sind g und h Gruppenisomorphismen.
Ist das soweit ok. Ich nehme an, ich muss noch die Homöomorphismuseigenschaft zeigen, oder folgt die auch direkt?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Do 05.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]I[/mm] partiell geordnete, gerichtete Menge, [mm](G_i)_{i \in I}[/mm]
> eine Familie topologischer Gruppen, [mm](G_i, f_{ij})[/mm]
> projektives System.
>
> Zeigen Sie:
> (a) [mm]G:= \underleftarrow{lim} \; G_i := \{(\sigma_i)_{i \in I} \in \produkt_{i \in I}G_i \;|\; f_{ij}(\sigma_j)=\sigma_i[/mm]
> für [mm]i \leq J\}[/mm] versehen mit der durch Einschränkung der
> Produkttopologie gegebenen Topologie, mit den kanonischen
> Epimorphismen [mm]f_i: G \to G_i[/mm] erfüllt die universelle
> Eigenschaft des projektiven Limes.
> (b) Der projektive Limes ist eindeutig bis auf Isomorphie
> (wobei man unter einem Isomorphismus von topologischen
> Gruppen einen Isomorphismus von Gruppen versteht, der zudem
> Homöomorphismus ist).
> Hallo,
>
> ich habe zu beiden Aufgabenteilen Ansätze, bin mir aber
> unsicher.
>
> (a) Sei H topologische Gruppe mit Abbiildungen [mm]g_i: H \to G_i[/mm]
> sodass [mm]g_i = f_{ij} \circ g_j[/mm] für [mm]i \leq j[/mm].
> Sei [mm]x \in H[/mm].
> Wir setzen [mm]\sigma_i = g_i(x) \in G_i[/mm] für [mm]i \in I[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow \sigma_i = g_i(x) = f_{ij}\circ g_j(x) = f_{ij}(\sigma_j) = \sigma_j|_{G_i}[/mm]
> für [mm]i \leq j[/mm]
> [mm]\Rightarrow g_i(x) = g_j(x)|_{G_i}[/mm] für [mm]i \leq j[/mm].
>
> Außerdem gibt es für [mm]i,j \in I[/mm] stets ein [mm]k \in I: i,j \leq k \Rightarrow g_i(x) = \sigma_i = \sigma_k|_{G_i}[/mm]
> und [mm]g_j(x) = \sigma_j = \sigma_k|_{G_j}[/mm]. Damit stimmen
> [mm]\sigma_i[/mm] und [mm]\sigma_j[/mm] auf dem Schnitt [mm]G_i \cap G_j[/mm]
> überein.
Das macht nicht wirklich Sinn, da [mm] $G_i$ [/mm] und [mm] $G_j$ [/mm] nicht umbedingt Untergruppen von einer Gruppe sein muessen.
Du musst doch einfach zeigen, dass [mm] $f_{ij}(\sigma_j) [/mm] = [mm] \sigma_i$ [/mm] ist fuer alle $i [mm] \le [/mm] j$. Aber das folgt direkt aus [mm] $g_i [/mm] = [mm] f_{ij} \circ g_j$.
[/mm]
> Die [mm]\sigma_i[/mm] setzen sich zu einem [mm]\sigma[/mm] Element aus G
> zusammen. Setzt man nun für alle [mm]x \in H: g(x) = \sigma[/mm]
> (also das eben konstuierte [mm]\sigma[/mm]), so erhält man den
> gewünschten Gruppenhomomorphismus mit [mm](f_i \circ g)(x) = f_i(\sigma) = \sigma_i = g_i(x) \Rightarrow f_i \circ g = g_i[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dass es ein Gruppenhomomorphismus ist kann man noch nachrechnen, aber man kann es auch einfach akzeptieren, da es wirklich nicht schwer ist 
> Ist das soweit richtig? Muss ich noch zeigen, dass das so
> konstruierte g ein Gruppenhomomorphismus ist, oder ist das
> klar, da ja die [mm]g_i[/mm] per Definition Gruppenhomomorphismen
> sind?
Das ist recht klar. Im Zweifelsfall musst du es natuerlich trotzdem noch nachrechnen, aber das ist wirklich nicht schwer.
Was du noch zeigen (oder besser: begruenden. viel zu tun ist da naemlich nicht) musst, ist dass $g$ stetig ist. Und dass $g$ eindeutig bestimmt ist.
> (b) Sei neben G mit den Abbildungen [mm]f_i[/mm] ein weiterer
> projektiver Limes durch H mit den Abbildungen [mm]g_i[/mm] gegeben.
> Aus Aufgabenteil (a) folgt dann, dass es einen
> Homomorphismus g gibt : [mm]H \to G: g_i = f_i \circ g[/mm] und [mm]h: G \to H, f_i = g_i \circ H \Rightarrow g_i=g_i \circ h \circ g[/mm]
> für alle [mm]i \in I \Rightarrow h \circ g = id.[/mm] Also sind g
> und h Gruppenisomorphismen.
> Ist das soweit ok. Ich nehme an, ich muss noch die
> Homöomorphismuseigenschaft zeigen, oder folgt die auch
> direkt?
Nun, $g$ ist stetig und $h = [mm] g^{-1}$ [/mm] ist stetig (folgt aus (a)), womit $g$ ein Homoeomorphismus ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Do 05.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Tausend Dank Felix. Das hat mir sehr geholfen.
LG Lippel
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