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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:44 Mo 29.12.2014 | | Autor: | Millkaa |
| Aufgabe | In nebenstehender Zeichnung sehen Sie eine aus zwei Halbkreisen bestehende Fläche ABCD (und einige Hilfslinien).
Zeigen Sie mithilfe der Proportionsaussage "Kreise verhalten sich zueinander wie die Quadrate über den Durchmessern", dass diese Fläche gleich der Summe des Halbkreises über AB und des Kreises über DC ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
vorab ein erklärendes Bild zu dieser Aufgabe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine konkrete Frage ist folgende:
Welchen Lösungsansatz kann ich bei dieser Aufgabe verwenden?
Info hierzu noch: Es wird in einer Vorlesung zur Mathematikgeschichte behandelt. Ich habe mir die Theorie der Möndchen des Hippokrates angeschaut sowie des Satz des Phytagoras. Beide Theorien haben passende Ansätze ich schaffe es aber nicht diese so zu formen, dass Sie zu dieser Aufgabe passen.
Meine Überlegung ist dass die Flächensumme des Halbkreises an der Hypothenuse vom Dreieck ACD plus dem Halbkreis der Ankathete des Dreieckes CBD gleich der Summe der Fläche vom Hypothenusen Halbkreis von Dreieck CBD und des gegenkatheten Halbkreises vom Dreieck ABD ist.
Allerdings kann ich diese Aussage nicht mathematisch korrekt formulieren bzw. rechnerisch darstellen.
Abschließend noch einmal die Aufgabe:
http://www.pic-upload.de/view-25696913/Matheforum.jpg.html
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Di 30.12.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
eine Kreisfläche wird mit [mm] \frac{\pi}{4}d^2[/mm], berechnet, eine Halbkreisfläche mit [mm] \frac{\pi}{8}d^2[/mm].
Die Behauptung deiner Aufgabe lautet damit
[mm] \frac{\pi}{8}(\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2)= \frac{\pi}{8}\overline{AD}^2 + \frac{\pi}{4}\overline{DC}^2[/mm].
Multiplikation mit [mm] 8/$\pi$ [/mm] liefert
[mm](\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2)= \overline{AD}^2 +2*\overline{DC}^2[/mm].
In der "Standardbezeichnung" ist das so viel wie
[mm] $c^2+p^2=q^2+2a^2$.
[/mm]
Nach dem Kathetensatz kann man [mm] $a^2=pc$ [/mm] setzen.
Der Rest kriegst du hin.
(Da ich von der Behauptung ausgegangen bin, musst du dann die Richtung noch umkehren oder mit genau-dann-wenn arbeiten.)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Di 30.12.2014 | | Autor: | Millkaa |
| Aufgabe | In nebenstehender Zeichnung sehen Sie eine aus zwei Halbkreisen bestehende Fläche ABCD (und einige Hilfslinien).
Zeigen Sie mithilfe der Proportionsaussage "Kreise verhalten sich zueinander wie die Quadrate über den Durchmessern", dass diese Fläche gleich der Summe des Halbkreises über AB und des Kreises über DC ist. |
Zitat: ** Quelltext des Artikels **
Hallo,
eine Kreisfläche wird mit [mm] \frac{\pi}{4}d^2[/mm], berechnet, eine Halbkreisfläche mit [mm] \frac{\pi}{8}d^2[/mm].
Die Behauptung deiner Aufgabe lautet damit
[mm] \frac{\pi}{8}(\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2)= \frac{\pi}{8}\overline{AD}^2 + \frac{\pi}{4}\overline{DC}^2[/mm].
Multiplikation mit [mm] 8/$\pi$ [/mm] liefert
[mm](\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2)= \overline{AD}^2 +2*\overline{DC}^2[/mm].
In der "Standardbezeichnung" ist das so viel wie
[mm] $c^2+p^2=q^2+2a^2$. [/mm]
Nach dem Kathetensatz kann man [mm] $a^2=pc$ [/mm] setzen.
Der Rest kriegst du hin.
(Da ich von der Behauptung ausgegangen bin, musst du dann die Richtung noch umkehren oder mit genau-dann-wenn arbeiten.)
** Quelltext des Artikels **
Vielen Dank vorab.
Kann ich als Lösung dann folgendermaßen vorgehen.
Durch den Kathetensatz ist gesagt, dass im rechtwinkeligen Dreieck die Fläche des Quadrates über einer Kathete gleich der Fläche des Rechteckes, das aus der Hypothenuse und dem Hypothenusenabschnitt unter der Kathete gebildet wird.
Das sagt mir;
Das Quadrat über a ist gleich dem Rechteck über p sowie das Quadrat von q ist gleich dem Rechteck von c.
Somit kann ich doch sagen, dass wenn die Halbkreise sich gleich verhalten wie die Quadrate folgendes gilt: (ich kürze Halbkreis mit HK ab)
HK(q) + HK(p) = HK(c) + HK(a)
Was somit die Lösung meines Problemes wäre.
Allerdings weiss ich nicht wie ich das in der Form
c² + p² = q² + 2pc
unterbringen kann. Oder sagt mir diese Aussage genau das?
Ich hab nämlich das Gefühl dass ich hier noch etwas vergessen habe umzustellen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Di 30.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Allerdings weiss ich nicht wie ich das in der Form
> c² + p² = q² + 2pc
> unterbringen kann. Oder sagt mir diese Aussage genau das?
> Ich hab nämlich das Gefühl dass ich hier noch etwas
> vergessen habe umzustellen
>
Ja, was hier steht ist noch genau so unbewiesen wie die zu beweisende Aussage.
Subtrahiere auf beiden Seiten 2pc und wende dann links eine binomische Formel an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 30.12.2014 | | Autor: | Millkaa |
| Aufgabe | | siehe frühere Aufgabenstellung |
Dann sieht es wie folgt aus:
c² + p² = q² + 2pc /-2pc
c² - 2pc + p² = q² / 2. binom. Formel
(c-p)² = q²
Da ich keine genauen Zahlen habe gehe ich davon aus, dass diese Rechnung stimmt. Von der Aufgabenstellung und vom groben messen passt die Aussage.
P.S. manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Ich habe tatsächlich nicht erkannt, dass ich eien binomische Formel bei der Subtraktion von 2pc bekomme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Di 30.12.2014 | | Autor: | abakus |
> siehe frühere Aufgabenstellung
> Dann sieht es wie folgt aus:
>
> c² + p² = q² + 2pc /-2pc
>
> c² - 2pc + p² = q² / 2. binom. Formel
>
> (c-p)² = q²
>
> Da ich keine genauen Zahlen habe gehe ich davon aus, dass
> diese Rechnung stimmt. Von der Aufgabenstellung und vom
> groben messen passt die Aussage.
>
> P.S. manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
> Ich habe tatsächlich nicht erkannt, dass ich eien
> binomische Formel bei der Subtraktion von 2pc bekomme.
Und -ich nehme an, dass das für dich so selbstverständlich ist, dass du es nicht extra erwähnst- es ist c-p=q. Damit kannst du ausgehend von [mm] $q^2= q^2$ [/mm] den Lösungsweg darstellen.
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