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Forum "Differentiation" - Prüfe auf Diff'barkeit
Prüfe auf Diff'barkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Prüfe auf Diff'barkeit: <=> stetig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Di 04.06.2013
Autor: poeddl

Aufgabe
Ist die Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] mit


[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm]

in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)

Hallo

kann ich bei obiger Aufgabe auch die Stetigkeit im Punkt x=0 mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen und durch die Stetigkeit eine Aussage über die Differenzierbarkeit in x=0 machen?
Oder muss man hier zwangsläufig mit dem Differenzquotienten arbeiten, um Differenzierbarkeit nachzuweisen?

Vielen Dank
poeddl

        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 04.06.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ist die Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] mit

>
>

> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]

>

> in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)
> Hallo

>

> kann ich bei obiger Aufgabe auch die Stetigkeit im Punkt
> x=0 mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen
> und durch die Stetigkeit eine Aussage über die
> Differenzierbarkeit in x=0 machen?
> Oder muss man hier zwangsläufig mit dem
> Differenzquotienten arbeiten, um Differenzierbarkeit
> nachzuweisen?

Immer letzteres: die Stetigkeit ist nur eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Di 04.06.2013
Autor: poeddl

Hallo, danke für deine Antwort!

Das heisst dann:
Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist stetig?

Bezug
                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Di 04.06.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo, danke für deine Antwort!

>

> Das heisst dann:
> Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig
> differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist
> stetig?

Ja, so ist es. Wenn du nachrechnest, wirst du auch feststellen, dass die vorgelegte Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Di 04.06.2013
Autor: poeddl

Aber stetig ist sie oder?

Habe hier gerade etwas gerechnet und komme darauf, dass rechts und linksseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen (=0)


Nur beim Differenzquotienten weiss ich nicht recht, wie ich da vorgehen soll:


[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{\bruch{cos(x)-1}{x}}{x}=\limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{cos(x)-1}{x^{2}}} [/mm]

Darauf zwei Mal den l'Hospital anwenden:

[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{-cos(x)}{2}}=\bruch{-1}{2} [/mm]

Aber wie geht es nun weiter?



Bezug
                                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Di 04.06.2013
Autor: fred97


> Aber stetig ist sie oder?
>  
> Habe hier gerade etwas gerechnet und komme darauf, dass
> rechts und linksseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert
> übereinstimmen (=0)
>  
>
> Nur beim Differenzquotienten weiss ich nicht recht, wie ich
> da vorgehen soll:
>  
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{\bruch{cos(x)-1}{x}}{x}=\limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{cos(x)-1}{x^{2}}}[/mm]
>  
> Darauf zwei Mal den l'Hospital anwenden:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} {\bruch{-cos(x)}{2}}=\bruch{-1}{2}[/mm]
>  
> Aber wie geht es nun weiter?

f ist in x=0 differenzierbar, das habe ich doch hier schon erledigt:

https://matheraum.de/read?i=970865

FRED

>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Di 04.06.2013
Autor: poeddl

Hallo, ja, das habe ich gelesen.
Aber woran erkenne ich anhand der [mm] \bruch{-1}{2}, [/mm] dass f diff'bar ist?



Oder reicht es, wenn ein Grenzwert existiert, um sagen zu können, dass f an der Stelle diff'bar ist?

Bezug
                                                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Di 04.06.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

schau dir mal die Definition von Differenzierbarkeit an.

Def.: $f(x)$ heißt diffbar in [mm] x_0, [/mm] wenn der Grenzwert [mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung der Funktion $f(x)$ im Punkt [mm] x_0. [/mm]

Schlussfolgerung....

Bezug
                                                                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Di 04.06.2013
Autor: poeddl

Super, vielen Dank! :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Di 04.06.2013
Autor: Diophant

Hallo poeddl,

sorry nochmals für die Fehlinformation. Ich bin halt 'Hobbymathematiker' und manchmal vertue ich mich daher mit den Definitionen (was jetzt keine Ausrede sein soll: ich könnte sie und werde das auch in Zukunft wieder im Zweifelsfall nachschlagen). Aber es hat sich ja geklärt. :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Di 04.06.2013
Autor: poeddl

Hallo,

ist doch kein Problem!
So habe ich es wenigstens verstanden und es ist was hängen geblieben, da ich meinen Denkapparat mal benutzt habe ;)

Die Aussage
"Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist stetig? "
ist aber trotzdem richtig oder?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 Di 04.06.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo,
>  
> ist doch kein Problem!
>  So habe ich es wenigstens verstanden und es ist was
> hängen geblieben, da ich meinen Denkapparat mal benutzt
> habe ;)
>  
> Die Aussage
>  "Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig
> differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist
> stetig? "
>  ist aber trotzdem richtig oder?

Ja, die Aussage stimmt.

Du kannst dir mal Beispiele für stetige, aber nicht differenzierbare Funktionen anschauen. Ganz bekannt ist die Weierstrass-Funktion. Sie ist stetig, aber in keinem Punkt differenzierbar. Dazu existieren auch hübsche Graphen.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Di 04.06.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> ist doch kein Problem!
>  So habe ich es wenigstens verstanden und es ist was
> hängen geblieben, da ich meinen Denkapparat mal benutzt
> habe ;)
>  
> Die Aussage
>  "Eine stetige Funktion ist nicht zwangsläufig
> differenzierbar, aber jede differenzierbare Funktion ist
> stetig? "
>  ist aber trotzdem richtig oder?

wie schon gesagt: Ja.

Mach' Dir das doch mal klar:
Zu zeigen ist: Wenn [mm] $g=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ [/mm] existiert (d.h. [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm]
existiert bzw. [mm] $f\,$ [/mm] ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] diff'bar), dann ist zu folgern, dass
[mm] $$\lim_{h \to 0}f(x_0+h)=f(x_0)$$ [/mm]
gilt. (Letzteres bedeutet, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                                
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Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Mi 05.06.2013
Autor: poeddl

Hallo,

jetzt, wo du es sagst...
Leute, ihr seid echt spitze!
Kann man euch hier irgendwie gute Bewertungen oder so geben, damit ihr was davon habt?

Gruß

Bezug
        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Di 04.06.2013
Autor: fred97


> Ist die Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] mit
>  
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>  
> in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)
>  Hallo
>  
> kann ich bei obiger Aufgabe auch die Stetigkeit im Punkt
> x=0 mit dem rechts und linksseitigen Grenzwert bestimmen
> und durch die Stetigkeit eine Aussage über die
> Differenzierbarkeit in x=0 machen?
>  Oder muss man hier zwangsläufig mit dem
> Differenzquotienten arbeiten, um Differenzierbarkeit
> nachzuweisen?
>  
> Vielen Dank
> poeddl


Ich muss Diophant widersprechen !

Es ist


$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm] $,

also




$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm] $

Es gilt [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{cos(x)-1}{x^2} \to \bruch{-1}{2} [/mm]  für x [mm] \to [/mm] 0,

wie man mit der Potenzreihe von Cosinus sofort sieht.

Bezug
                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Di 04.06.2013
Autor: Diophant

Hallo FRED,

> Ich muss Diophant widersprechen !

>

> Es ist

>
>

> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm],

>

> also

>
>
>
>

> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]

>

> Es gilt [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{cos(x)-1}{x^2} \to \bruch{-1}{2}[/mm]
> für x [mm]%5Cto[/mm] 0,

>

> wie man mit der Potenzreihe von Cosinus sofort sieht.

hm, könntest du das mit dem Widersprechen noch ein wenig ausführen? Denn das ist doch hier nichts anderes als der Differenzenquotient, ich sehe jetzt nicht so ganz, wo mein Fehler lag.

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Di 04.06.2013
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  
> > Ich muss Diophant widersprechen !
>  >
>  > Es ist

>  >
>  >
>  > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases} [/mm],

>  
> >
>  > also

>  >
>  >
>  >
>  >
>  > [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]

>  
> >
>  > Es gilt [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{cos(x)-1}{x^2} \to \bruch{-1}{2}[/mm]

>  
> > für x [mm]%5Cto[/mm] 0,
>  >
>  > wie man mit der Potenzreihe von Cosinus sofort sieht.

>  
> hm, könntest du das mit dem Widersprechen noch ein wenig
> ausführen? Denn das ist doch hier nichts anderes als der
> Differenzenquotient, ich sehe jetzt nicht so ganz, wo mein
> Fehler lag.

Hallo Diophant,

Du hast geschrieben:

"Wenn du nachrechnest, wirst du auch feststellen, dass die vorgelegte Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist. "

f ist aber in x=0 differenzierbar .

Gruß FRED

>  
> Gruß, Diophant


Bezug
                                
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Di 04.06.2013
Autor: Diophant

Hallo FRED,

> Hallo Diophant,

>

> Du hast geschrieben:

>

> "Wenn du nachrechnest, wirst du auch feststellen, dass die
> vorgelegte Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar
> ist. "

>

> f ist aber in x=0 differenzierbar .

>

> Gruß FRED

Ja, das war ein Denkfehler meinerseits. Danke für die Erläuterung und Richtigstesllung!

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Prüfe auf Diff'barkeit: Diff'bar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Di 04.06.2013
Autor: Marcel

Hallo,

neben Freds Methode und vor allem neben Deiner, wo Du beim Diff'quotienten
irgendwann de l'Hôpital anwendest:

> Ist die Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] mit
>  
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{cos(x)-1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>  
> in x=0 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(0)

nach de l'Hôpital (Fall "0/0") gilt
[mm] $$f\,'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x}=\lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x)}{2}=\;-\;1/2\,.$$ [/mm]

Edit: Sorry,, ich hätte Deine Methode doch nochmal angucken sollen; ich hatte
hier zuerst was falsch gerechnet ^^


Gruß,
  Marcel

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