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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Relation R, mit [mm] R\subseteq\IN [/mm] x [mm] \IN:
[/mm]
(x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] 7 | (x+y)
Prüfen sie die Relation auf Symmetrie, Reflexivität und Transitivität. |
Hallo,
Ich habe einen Lösungsvorschlag. Könnte vielleicht jemand kurz drüberschauen, ob dieser richtig ist?
Reflexivität:
Def.:
[mm] R\subseteq\IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ist reflexiv, wenn für alle x [mm] \in \IN [/mm] gilt: (x, x) [mm] \in [/mm] R.
Sei x=6, dann gilt: (6, 6) [mm] \in [/mm] R diese Aussage ist falsch, da 12 nicht durch 7 teilbar ist. Also ist R nicht reflexiv.
Symmetrie:
Def.:
[mm] R\subseteq\IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ist reflexiv, wenn für alle x, y [mm] \in \IN [/mm] gilt: (x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] (y, x) [mm] \in [/mm] R.
Für alle x, y [mm] \IN [/mm] gilt: Wenn x+y durch 7 teilbar ist, dann ist auch y+x durch 7 teilbar. Also ist R symmetrisch und für alle x, y [mm] \in \IN [/mm] gilt: (x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] (y, x) [mm] \in [/mm] R.
Transitivität:
Def.
[mm] R\subseteq\IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ist transitiv, wenn für alle x, y, z [mm] \in \IN [/mm] gilt: (x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y, z ) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (x, z) [mm] \in [/mm] R.
Sei x= 4, y=3 und z=11, dann gilt: (x, y) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (y, z ) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (x, z) [mm] \in [/mm] R. Diese Aussage ist falsch. Somit ist R nicht transitiv.
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Hallo Peeter123,
> Gegeben sei folgende Relation R, mit [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN:[/mm]
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> (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] 7 | (x+y)
>
> Prüfen sie die Relation auf Symmetrie, Reflexivität und
> Transitivität.
> Hallo,
>
> Ich habe einen Lösungsvorschlag. Könnte vielleicht jemand
> kurz drüberschauen, ob dieser richtig ist?
>
> Reflexivität:
>
> Def.:
> [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ist reflexiv, wenn für alle x [mm]\in \IN[/mm]
> gilt: (x, x) [mm]\in[/mm] R.
>
> Sei x=6, dann gilt: (6, 6) [mm]\in[/mm] R diese Aussage ist
> falsch, da 12 nicht durch 7 teilbar ist. Also ist R nicht
> reflexiv.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> Symmetrie:
>
> Def.:
> [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ist reflexiv, wenn für alle x, y [mm]\in \IN[/mm]
> gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] (y, x) [mm]\in[/mm] R.
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
>
> Für alle x, y [mm]\IN[/mm] gilt: Wenn x+y durch 7 teilbar ist, dann
> ist auch y+x durch 7 teilbar. Also ist R symmetrisch und
> für alle x, y [mm]\in \IN[/mm] gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] (y, x) [mm]\in[/mm]
> R.
>
>
>
>
> Transitivität:
>
> Def.
> [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ist transitiv, wenn für alle x, y, z
> [mm]\in \IN[/mm] gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y, z ) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm]
> (x, z) [mm]\in[/mm] R.
>
> Sei x= 4, y=3 und z=11, dann gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y,
> z ) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (x, z) [mm]\in[/mm] R.> Diese Aussage ist
> falsch.
Das ist sehr sehr kraus formuliert, aber das Gegenbsp. ist richtig.
> Somit ist R nicht transitiv.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Peeter123 |
Hallo schachuzipus,
vielen dank fürs drüberschauen ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei folgende Relation R, mit [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN:[/mm]
>
> (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] 7 | (x+y)
>
> Prüfen sie die Relation auf Symmetrie, Reflexivität und
> Transitivität.
> Hallo,
>
> Ich habe einen Lösungsvorschlag. Könnte vielleicht jemand
> kurz drüberschauen, ob dieser richtig ist?
>
> Reflexivität:
>
> Def.:
> [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ist reflexiv, wenn für alle x [mm]\in \IN[/mm]
> gilt: (x, x) [mm]\in[/mm] R.
>
> Sei x=6, dann gilt: (6, 6) [mm]\in[/mm] R diese Aussage ist
> falsch, da 12 nicht durch 7 teilbar ist. Also ist R nicht
> reflexiv.
>
>
>
> Symmetrie:
>
> Def.:
> [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ist reflexiv, wenn für alle x, y [mm]\in \IN[/mm]
> gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] (y, x) [mm]\in[/mm] R.
>
> Für alle x, y [mm]\IN[/mm] gilt: Wenn x+y durch 7 teilbar ist, dann
> ist auch y+x durch 7 teilbar. Also ist R symmetrisch und
> für alle x, y [mm]\in \IN[/mm] gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw[/mm] (y, x) [mm]\in[/mm]
> R.
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> Transitivität:
>
> Def.
> [mm]R\subseteq\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] ist transitiv, wenn für alle x, y, z
> [mm]\in \IN[/mm] gilt: (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y, z ) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm]
> (x, z) [mm]\in[/mm] R.
>
> Sei x= 4, y=3 und z=11, dann gilt:
das gilt doch eben NICHT! Ich weiß, dass Du das unten (roter Satz)
> (x, y) [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] (y,
> z ) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (x, z) [mm]\in[/mm] R.
> Diese Aussage ist falsch.
sagen willst. Aber dann schreib' nicht "...,dann gilt:", sondern sowas wie:
"... und wäre transitiv, dann MÜSSTE INSBESONDERE gelten..."
oder
"... und wir prüfen, ob auch hier gilt: ..."
(Natürlich kannst Du dann Deinen roten Satz danach streichen!)
Oder aber schreibe doch direkt:
Um einzusehen, dass die Transitivität NICHT gilt, betrachten wir mit [mm] $x:=4\,,$
[/mm]
[mm] $y:=3\,$ [/mm] und [mm] $z:=11\,$ [/mm] die Paare [mm] $(x,y)=(4,3)\,,$ [/mm] $(y,z)=(3,11)$ und [mm] $(x,z)=(4,11)\,.$ [/mm] Hier gelten...
> Somit ist R nicht transitiv.
Das ist alles richtig, könnte man ein wenig "schöner" aufschreiben. Aber
das wurde ja schon gesagt.
Bei der Transitivität solltest Du, neben der "Formulierungskorrektur",
meines Erachtens nach die folgenden "Minibegründungen" noch
dazuschreiben (dann kann nämlich keiner Punkte wegen Unvollständigkeit
abziehen):
Mit [mm] $x:=4\,,$ $y:=3\,$ [/mm] und [mm] $z:=11\,$ [/mm] gelten (auch unter Beachtung von [mm] $y=3,\,x=4,\,z=11 \in \IN$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $(x,y)=(4,3) [mm] \in R\,,$ [/mm] weil [mm] $7\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $x+y=4+3=7\,$ [/mm] ist
[mm] $\bullet$ [/mm] $(y,z)=(3,11) [mm] \in R\,,$ [/mm] weil [mm] $7\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $y+z=3+11=14\,$ [/mm] ist
aber $(x,z) [mm] \notin R\,,$ [/mm] weil [mm] $7\,$ [/mm] kein Teiler von [mm] $x+z=4+11=15\,$ [/mm]
ist.
Gruß,
Marcel
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