Prüfung ob Folge konvergiert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] s_{n}=\summe_{j=1}^{n}aj [/mm] mit [mm] aj=\bruch{5+3j}{(\wurzel[3]{7})^{j+2}} [/mm] |
Hallo,
hab hier eine Aufgabe vor mir liegen, die mir zur Zeit unlösbar erscheint.
Die Aufgabenstellung:
Prüfen Sie, ob die gegebene Folge [mm] (s_{n}) [/mm] (der Partialsummen) konvergiert (ohne dabei den etwaigen Grenzwert zu bestimmen).
Hab absolut keine ahnung wie ich hier überhaupt anfangen soll. Könnte mir jemand da auf die Sprünge helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 29.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]s_{n}=\summe_{j=1}^{n}aj[/mm] mit
> [mm]aj=\bruch{5+3j}{(\wurzel[3]{7})^{j+2}}[/mm]
> Hallo,
> hab hier eine Aufgabe vor mir liegen, die mir zur Zeit
> unlösbar erscheint.
>
> Die Aufgabenstellung:
> Prüfen Sie, ob die gegebene Folge [mm](s_{n})[/mm] (der
> Partialsummen) konvergiert (ohne dabei den etwaigen
> Grenzwert zu bestimmen).
>
> Hab absolut keine ahnung wie ich hier überhaupt anfangen
> soll. Könnte mir jemand da auf die Sprünge helfen.
Es geht darum, ob die Reihe [mm] $\summe_{j=1}^{\infty}a_j [/mm] $ konvergiert oder nicht.
Hier kannst Du auf mehrere Arten vorgehen:
Majorantenkriterium oder Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium ...
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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also ich hab mir jetzt alles drei Kriterien durchgelesen. Hab mich dann für das Quotientkriterium entschieden.
[mm] lim\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} }
[/mm]
[mm] lim\vmat{\bruch{5+3(j+3)*(\wurzel[3]{7})^{j+2}}{(\wurzel[3]{7})^{j+3}*5+3j }}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*\bruch{8+3j}{5+3j}
[/mm]
wüsste zu gerne ob das so stimmt und wie es weiter geht.
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Hallo dummbeutel111,
sorry, dass es so lange gedauert hat, hatte just Tel., als ich auf "antworten" geklickt habe ...
> also ich hab mir jetzt alles drei Kriterien durchgelesen.
> Hab mich dann für das Quotientkriterium entschieden.
Gute Wahl!
>
> [mm]lim\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} }[/mm]
>
> [mm]lim\vmat{\bruch{5+3(j+\red{3})*(\wurzel[3]{7})^{j+2}}{(\wurzel[3]{7})^{j+3}*5+3j }}[/mm]
Verschreiber [mm] $3(j+\red [/mm] 1)$
>
> [mm]=\bruch{1}{3}*\bruch{8+3j}{5+3j}[/mm]
Vorne muss doch [mm]\frac{1}{\sqrt[3]{7}}[/mm] stehen ...
Für den Rest klammere j in Zähler und Nenner aus, kürz es und lasse [mm]j\to\infty[/mm] gehen.
>
> wüsste zu gerne ob das so stimmt und wie es weiter geht.
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
noch eine kurze Anmerkung:
Statt [mm]\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] schreibe der Konsistenz wegen doch besser
[mm]\lim\limits_{j\to\infty}\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|[/mm]
Ach ja, was hast du denn nun letztlich herausbekommen im Hinblick auf die Konvergenz der Reihe?
Gruß
schachuzipus
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ach ja danke, ist mir garnicht aufgefallen.
hab mal das j ausgeklammert und bekamm [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{7}}*\bruch{j*(\bruch{8}{j}+3)}{j*(\bruch{5}{j}+3)}
[/mm]
bin davon ausgegangen, dass es gegen null konvergiert.
muss aber dazu sagen, dass es nicht wirklich weis.
und sorry hab die mitteilung erst jetzt gesehen.
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Hallo nochmal,
> ach ja danke, ist mir garnicht aufgefallen.
>
> hab mal das j ausgeklammert und bekamm
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{7}}*\bruch{j*(\bruch{8}{j}+3)}{j*(\bruch{5}{j}+3)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bin davon ausgegangen, dass es gegen null konvergiert.
Warum?
Die [mm]j[/mm] kannst du kürzen, dann steht da [mm]\frac{1}{\sqrt[3]{7}}\cdot{}\frac{\frac{8}{j}+3}{\frac{5}{j}+3}[/mm]
Was passiert denn für [mm]j\to\infty[/mm]?
Die Brüche [mm]\frac{8}{j}[/mm] und [mm]\frac{5}{j}[/mm] konvergieren gegen 0, also ergibt sich insgesamt nach den GW-Sätzen:
[mm]\frac{1}{\sqrt[3]{7}}\cdot{}\frac{\frac{8}{j}+3}{\frac{5}{j}+3} \ \longrightarrow \ \frac{1}{\sqrt[3]{7}}\cdot{}\frac{0+3}{0+3} \ = \ \ldots[/mm]
Ist dieser GW kleiner als 1, so gilt nach dem QK was?
Ist er größer als 1, gilt was?
Ist er gleich 1, gilt was?
Gruß
schachuzipus
> muss aber dazu sagen, dass es nicht wirklich weis.
> und sorry hab die mitteilung erst jetzt gesehen.
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<1 ist es konvergent
>1 divergent
aber =1 hab ich keine ahnung. könnte beides sein.
danke nochmal. so sachen sehe ich als nicht obwohl sie machmal ziemlich einfach sind.
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Hallo nochmal,
> <1 ist es konvergent
> >1 divergent
>
> aber =1 hab ich keine ahnung. könnte beides sein.
Genau!
Und hier ist der GW halt [mm] $\frac{1}{\sqrt[3]{7}}$, [/mm] was natürlich $<1$ ist.
Also konvergiert die Ausgangsreihe (sogar absolut)
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> danke nochmal. so sachen sehe ich als nicht obwohl sie
> machmal ziemlich einfach sind.
Gruß
schachuzipus
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