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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Sa 26.11.2016 | | Autor: | Laura22 |
| Aufgabe | Eine Matrix [mm] $A^{+} \in \mathbb{R}^{mxn}$ [/mm] zu $A [mm] \in \mathbb{R}^{nxm}$ [/mm] habe die Eigenschaften
[mm] $A^{+}AA^{+} [/mm] = [mm] A^{+}$ [/mm] und [mm] $AA^{+}A [/mm] = A$
Zeige:
(a) [mm] $A^{+}A$ [/mm] ist Projektion,
(b) [mm] $Im(A^{+}A)= Im(A^{+})$,
[/mm]
(c) [mm] $Ker(A^{+}A) [/mm] = Ker(A)$ |
Hallo,
ich habe Probleme mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Was ich bisher gemacht habe:
(a) Definiere [mm] $M:=A^{+}A$ [/mm] und zeige [mm] $M^2 [/mm] = M$:
[mm] $M^2 [/mm] = [mm] \underbrace{A^{+}AA^{+}}_{= A^{+}}A [/mm] = [mm] A^{+}A [/mm] = M$.
(b) Meine Ansätze.
[mm] "$\subseteq$": [/mm] ist klar, denn: Betrachte $y [mm] \in Im(A^{+}A)$, [/mm] d.h. [mm] $\exists [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}^n: A^{+}\underbrace{Ax}_{= \tilde{x}}=A^{+}\tilde{x} [/mm] = y$, d.h. y [mm] \in Im(A^{+}).
[/mm]
[mm] "$\supseteq$": [/mm] ?
Hat jemand einen Tipp wie man die "Teilmengen-Rückrichtung" der (b) zeigen kann? Ich vermute mal stark, dass man die Projektionseigenschaft aus der (a) verwenden muss, aber wie?
Vielen Dank und Gruß,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Sa 26.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Eine Matrix [mm]A^{+} \in \mathbb{R}^{mxn}[/mm] zu [mm]A \in \mathbb{R}^{nxm}[/mm]
> habe die Eigenschaften
> [mm]A^{+}AA^{+} = A^{+}[/mm] und [mm]AA^{+}A = A[/mm]
>
> Zeige:
> (a) [mm]A^{+}A[/mm] ist Projektion,
> (b) [mm]Im(A^{+}A)= Im(A^{+})[/mm],
> (c) [mm]Ker(A^{+}A) = Ker(A)[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Was ich
> bisher gemacht habe:
>
> (a) Definiere [mm]M:=A^{+}A[/mm] und zeige [mm]M^2 = M[/mm]:
> [mm]M^2 = \underbrace{A^{+}AA^{+}}_{= A^{+}}A = A^{+}A = M[/mm].
O.K.
>
> (b) Meine Ansätze.
> "[mm]\subseteq[/mm]": ist klar, denn: Betrachte [mm]y \in Im(A^{+}A)[/mm],
> d.h. [mm]\exists x \in \mathbb{R}^n: A^{+}\underbrace{Ax}_{= \tilde{x}}=A^{+}\tilde{x} = y[/mm],
> d.h. y [mm]\in Im(A^{+}).[/mm]
> "[mm]\supseteq[/mm]": ?
>
> Hat jemand einen Tipp wie man die
> "Teilmengen-Rückrichtung" der (b) zeigen kann? Ich vermute
> mal stark, dass man die Projektionseigenschaft aus der (a)
> verwenden muss, aber wie?
Gut vermutet! Ich muss aber auch [mm] $A^{+}AA^{+}= A^{+}$ [/mm] benutzen: wende mal die Projektion [mm] $A^{+}A$ [/mm] auf [mm] $y\in Im(A^{+})$ [/mm] an...
>
> Vielen Dank und Gruß,
> Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 26.11.2016 | | Autor: | Laura22 |
Ok, also nach deiner Erklärung muss ich sagen:
Da hätte ich auch echt alleine drauf kommen können... :D
Sei $y [mm] \in Im(A^{+})$ [/mm] beliebig. Dann gibt es $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit y = [mm] A^{+}x [/mm] = [mm] A^{+}AA^{+}x [/mm] = [mm] A^{+}Ay,
[/mm]
also y [mm] \in Im(AA^{+}).
[/mm]
Den Teil (c) mache ich jetzt noch alleine weiter, ich denke mal, dass der analog gehen wird. Falls ich damit Probleme habe, sag ich sonst nochmal Bescheid.
Danke sehr!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Sa 26.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, also nach deiner Erklärung muss ich sagen:
> Da hätte ich auch echt alleine drauf kommen können...
> :D
Das ist eine normale Reaktion, wenn man gute Tipps bekommt 
>
> Sei [mm]y \in Im(A^{+})[/mm] beliebig. Dann gibt es [mm]x \in \mathbb{R}^n[/mm]
> mit y = [mm]A^{+}x[/mm] = [mm]A^{+}AA^{+}x[/mm] = [mm]A^{+}Ay,[/mm]
> also y [mm]\in Im(AA^{+}).[/mm]
Das sieht gut aus
>
> Den Teil (c) mache ich jetzt noch alleine weiter, ich denke
> mal, dass der analog gehen wird. Falls ich damit Probleme
> habe, sag ich sonst nochmal Bescheid.
>
> Danke sehr!
Mach das.
Marius
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