Pseudoskalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Fr 03.12.2004 | | Autor: | ankiza |
Kann mir jemand eine genaue Definition geben? Reicht es schon das die Matrix bzgl. einer Bilinearform schiefsymmetrisch ist???
Vielen Dank, Ankiza
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Hallo Ankiza!
Der Formalismus "Pseudo-Skalarprodukt" ist meines Wissens nach nicht ganz eindeutig - insofern bin ich nicht sicher ob die nun folgende Definition mit eurer übereinstimmt.
Ich verstehe unter einem "Pseudo-Skalarprodukt" eine symmetrische Bilinearform, die aber nicht unbedingt positiv definit sein muß.
Oder auf Matrizenebene wird ein Pseudo-Skalarprodukt einfach von einer symmetrischen Matrix induziert, ohne Bedingung an Invertierbarkeit oder Hauptminoren.
Ich hoffe das hilft Dir... falls nicht, bitte erläutere Deine Frage noch etwas.
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 04.12.2004 | | Autor: | ankiza |
Hallo Lars, also, die Aufgabe um die es geht, lautet so:
Sei < , > Pseudoskalarprodukt auf endlich erzeugtem IR-Vektorraum, mit <v,v> ungleich 0 für alle v ungleich 0. Zeige das dann entweder <,> oder
-<,> positiv definit ist. Wenn <,> also kein Skalarprodukt ist, dann ist das doch eigentlich klar. Ich weiss einfach nicht, wie ich anfangen soll...Hast du vieleicht einen Tipp? Ich glaube, deine "Definition"stimmt mit unserer überein. Gruß und Dank, Ankiza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo ankiza!
Es gäbe dann Vektoren [mm] $v,w\ne [/mm] 0$ mit
[mm] $\langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] >0$
und
[mm] $\langle [/mm] w,w [mm] \rangle [/mm] <0$.
Durch geeignete Transformationen (Stichwort: Hauptachsentransformation) kannst du dir [mm] $\tilde{v}$ [/mm] und [mm] $\tilde{w}$ [/mm] basteln mit
[mm] $\langle \tilde{v} [/mm] , [mm] \tilde{v} \rangle [/mm] = 1$,
[mm] $\langle \tilde{w}, \tilde{w} \rangle [/mm] = -1$
und
[mm] $\langle \tilde{v}, \tilde{w} \rangle [/mm] = 0$.
Daraus folgt:
[mm] $\langle \tilde{v} [/mm] + [mm] \tilde{w}, \tilde{v} [/mm] + [mm] \tilde{w} \rangle [/mm] =0$,
Widerspruch wegen [mm] $\tilde{v} [/mm] + [mm] \tilde{w} \ne [/mm] 0$.
Viele Grüße
Stefan
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