Punkt C in einem Dreieck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A=(-2/1/1), B=(-2/5/1) und S=(-8/3/6) sowie die Gerade [mm]g: \vec{x}=\begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] gegeben.
a)Zeigen Sie, dass A auf der Gerade g liegt und B nicht. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes B von g. Fertigen Sie eine Skizze der Situation an.
b) Die Punkte A und B bilden zusammen mit einem Punkt C auf der Gerade g ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis [mm]\overline{AB}[/mm]. Bestimmen Sie die Koordinaten von C (Ergebnis C=(-3.5/3/1)).
Die Punkte A, B, C sowie S sind die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. Auf zwei Arten:
1. mit Spatprodunkt
2. durch Berechnen der Grundflächen (des Dreiecks ABC) und der Höhe h der Pyramide!
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelspunktes S' von S an der Ebene (ABC). Zeigen Sie, dass der Lotfußpunkt von S auf (ABC) ein Punkt der Symmetrieachse des Dreiecks ABC ist. |
Schönen Abend,
ich mach gerade meine Mathehausaufgaben und bin gerade ins stocken gekommen und wollte deswegen um hilfe bitten.
a)
ich denke das hab ich einigermaßen richtig
A:
[mm]3x_1-4x_2=c[/mm]
[mm]c=3*(-2)-4*1[/mm]
c=-10
[mm]E:3x_1-4x_2=-10[/mm]
[mm]3(0,5+3t)-4(-1-4t)=-10[/mm]
[mm]25t=-15,5[/mm]
[mm]t=-0,62[/mm]
[mm]g: \vec{x}=\begin{pmatrix} -0,5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}-0,62* \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]F=\begin{pmatrix} -2,36 \\ 1,48 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\left| \vec{AF} \right|= \wurzel{0,1296+0,2304}[/mm]
d=0,6
Rundungsfehler, da ich nicht mit den Brüchen weitergerechnet habe eigentl. müsste 0 rauskommen
B:
[mm]E: 3x_1-4x_2=c[/mm]
c=-26
[mm]3*(0,5+3t)-4(-1-4t)=-26[/mm]
[mm]25t=-31.5[/mm]
t=-1,26
[mm]F=\begin{pmatrix} -4,28 \\ 4,04 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\left| \vec{BF} \right|= \wurzel{5,1984+0,9216}[/mm]
[mm]= \wurzel{6,12}[/mm]
ungefähr 2,5
b)
Da hab ich mir erstmal ne Skizze gemacht.
Dann hab ich mir überlegt den Winkel zwischen der Geraden g und AB auszurechnen.
[mm]cos( \alpha)=\bruch{d}{\left| AB \right|}[/mm]
[mm]cos(\alpha)=\bruch{\wurzel{6,12}}{4}[/mm]
0,6184
Der Winkel beträgt dann 51.796°
Jetzt muss ich eine Gerade finden die durch den Punkt B geht und bei der der Winkel zwischen AB und BC 51° beträgt. Dann muss ich den Schnittpunkt C von AC und BC herausfinden. Aber ich weiss nicht wie?
Ich hab dann einfach mit dem gegeben C weitergerechnet.
mit ABC die Ebene aufstellen
Abstand zu S berechnen, h
Grundfläche ausrechnen diese mit h und 1/3 multiplizieren
[mm]E:\begin{pmatrix} 2- \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -1,5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{vmatrix}
i & 0 & -1,5 \\
j & 4 & 2 \\
k & 0 & 0
\end{vmatrix}[/mm]
[mm] \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\left| n \right|=6[/mm]
[mm]HNF=\bruch{-2x_1+1x_2+1x_3-6}{6}[/mm]
[mm]d=3\bruch{1}{6}[/mm]
berechne ich die Grundfläche mit
[mm]\bruch{a*b}{2}[/mm]?
Bei c hab ich nun gar keine Ahnung, kann mir das auch nicht vorstellen. Ich weiss was der Lotfußpunkt ist, aber ich komme mit diesen spiegeln nicht klar.
Grüße,
Mareike
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Hallo!!
Also ich möchte dir zu c einige Tipps geben!!
1.) ABC bilden eine Ebene bzw. ein Dreieck. Senkrecht von der Ebene liegt der Punkt S der die SPITZE der Pyramide bildet. Spiegeln heißt,dass du den Punkt S an der Ebene spiegelst.D.H. du zeichnest dir eine Gerade senkrecht zur Ebene durch den Punkt S und verlängerst diese Gerade auf der anderen Seite der Ebene(unterhalb).Der Punkt S ist ja eine Länge h(=Höhe) vom Boden = Ebene enfernt.
geh folgendermaßen vor:
1.) Berechne den Abstand vom Punkt S von der Ebene!!!
2.) Berechne die Parameterdarstellung der Gerade senkrecht zur Ebene durch den Punkt S.
[mm] X=S+\vec{n}*t \vec{n} [/mm] = Normalvektor der Ebene = Richtungsvektor dieser Gerade
3.) Berechne den Schnittpunkt der Ebene mit der Gerade =LOTFUßPUNKT
4.) Bilde den Vektor von S zum Lotfußpunkt und addiere ihn zum Lotfußpunkt dazu,denn damit kommst du zu deinem gespiegelten Punkt.
mfg daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Mo 20.02.2006 | | Autor: | mareike-f |
Hi,
danke für deine Antwort.
ich denke, ich habs verstanden.
Grüße,
Mareike
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