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| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Bezierfläche mit n=3. Ermitteln Sie (x,y,z) für den Punkt, der sich aus s=0,5 und t=0,2 ergibt.
[Die einzelnen Punkte und eine Skizze der Fläche finden sich hier:] ![[]](/images/popup.gif) http://i.imgur.com/54aXXNX.png |
Hallo Community!
Zunächst gehe ich also an s entlang, undzwar bis zur absoluten Mitte von s. Da alle 9 Teilflächen (zumindest in s und t) gleichgroß sind ist die absolute Mitte von s auch die relative Mitte der zwei drumherumliegenenden, gegebenen Punkte [mm] P_{12} [/mm] und [mm] P_{13}.
[/mm]
[mm] (P_{13} [/mm] - [mm] P_{12})/2 [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ -1} [/mm] = [mm] P_{a}
[/mm]
Von diesem Punkt aus müssen wir uns nun um 0,2 in t-Richtung bewegen. Wichtig dabei ist, dass wir uns auf der Fläche bewegen. Bei dem folgenden Schritt bin ich mir deshalb nicht sicher: Ich ermittle den Mittelpunkt zwischen [mm] P_{22} [/mm] und [mm] P_{23} [/mm] und dann den Abstand dieses neuen Punktes zu [mm] P_{a}.
[/mm]
[mm] (P_{23} [/mm] - [mm] P_{22})/2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3,5} [/mm] = [mm] P_{b}
[/mm]
[mm] P_{b} [/mm] - [mm] P_{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 4,5} [/mm] = [mm] P_{b-a}
[/mm]
Nun muss ich [mm] P_{b-a} [/mm] anstatt für [mm] t=\bruch{1}{3}, [/mm] also zwischen [mm] P_{i1} [/mm] und [mm] P_{i2}, [/mm] für den gesuchten Wert t=0,2 anpassen. Dafür muss ich [mm] P_{b-a} [/mm] mit [mm] \bruch{3}{5} [/mm] multiplizieren.
[mm] P_{b-a} [/mm] * [mm] \bruch{3}{5} [/mm] = [mm] \vektor{1,2 \\ 0 \\ 2,7}
[/mm]
Damit haben wir nun die Lösung der Aufgabe.
Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich IRGENDWAS falsch gemacht habe. Bitte helft mir :)
Besten Gruß,
apfelkeks
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo apfelkeks,
> Betrachten Sie folgende Bezierfläche mit n=3. Ermitteln
> Sie (x,y,z) für den Punkt, der sich aus s=0,5 und t=0,2
> ergibt.
> [Die einzelnen Punkte und eine Skizze der Fläche finden
> sich hier:] http://i.imgur.com/54aXXNX.png
> Hallo Community!
>
> Zunächst gehe ich also an s entlang, undzwar bis zur
> absoluten Mitte von s. Da alle 9 Teilflächen (zumindest in
> s und t) gleichgroß sind ist die absolute Mitte von s auch
> die relative Mitte der zwei drumherumliegenenden, gegebenen
> Punkte [mm]P_{12}[/mm] und [mm]P_{13}.[/mm]
>
> [mm](P_{13}[/mm] - [mm]P_{12})/2[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ -1}[/mm] = [mm]P_{a}[/mm]
>
> Von diesem Punkt aus müssen wir uns nun um 0,2 in
> t-Richtung bewegen. Wichtig dabei ist, dass wir uns auf der
> Fläche bewegen. Bei dem folgenden Schritt bin ich mir
> deshalb nicht sicher: Ich ermittle den Mittelpunkt zwischen
> [mm]P_{22}[/mm] und [mm]P_{23}[/mm] und dann den Abstand dieses neuen Punktes
> zu [mm]P_{a}.[/mm]
>
> [mm](P_{23}[/mm] - [mm]P_{22})/2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3,5}[/mm] = [mm]P_{b}[/mm]
> [mm]P_{b}[/mm] - [mm]P_{a}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 4,5}[/mm] = [mm]P_{b-a}[/mm]
>
> Nun muss ich [mm]P_{b-a}[/mm] anstatt für [mm]t=\bruch{1}{3},[/mm] also
> zwischen [mm]P_{i1}[/mm] und [mm]P_{i2},[/mm] für den gesuchten Wert t=0,2
> anpassen. Dafür muss ich [mm]P_{b-a}[/mm] mit [mm]\bruch{3}{5}[/mm]
> multiplizieren.
>
> [mm]P_{b-a}[/mm] * [mm]\bruch{3}{5}[/mm] = [mm]\vektor{1,2 \\ 0 \\ 2,7}[/mm]
>
> Damit haben wir nun die Lösung der Aufgabe.
>
> Ich werde das Gefühl nicht los, dass ich IRGENDWAS falsch
> gemacht habe. Bitte helft mir :)
>
Die [mm]P_{ij}[/mm] sind doch die Kontrollpunkte der Bezierfläche.
Das heisst, zur Berechnung eines Flächenpunktes ist der
De_Casteljau-Algorithmus anzuwenden.
Näheres siehe dazu hier.
> Besten Gruß,
> apfelkeks
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower!
Was ich aus dem Links entnehmen kann, ist dass ich eine bikubische Oberfläche habe, also eine kubische Funktion sowohl für s und t.
Bei De Casteljau stelle ich mir nun vor, dass ich 4 s-Kurven in t-Richtung und 4 t-Kurven in S-Richtung haben (daraus ergibt sich dann meine Fläche). In meiner Aufgabe muss ich nun alle 4 s-Kurven für den Wert s=0.5 lösen. Die vier neuen Punkte die ich daraus erhalte ergeben dann eine neue Kurve in t-Richtung, auf der ich irgendwo mein t=0.2 finden muss.
Ist das was ich vor habe so in etwa richtig? Mir fehlt da momentan ein wenig der mathematische Einstieg dazu und ich weiß nicht genau wo ich anfangen soll.
Danke für die Hilfe!
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Hallo apfelkeks,
> Hallo Mathepower!
>
> Was ich aus dem Links entnehmen kann, ist dass ich eine
> bikubische Oberfläche habe, also eine kubische Funktion
> sowohl für s und t.
>
> Bei De Casteljau stelle ich mir nun vor, dass ich 4
> s-Kurven in t-Richtung und 4 t-Kurven in S-Richtung haben
> (daraus ergibt sich dann meine Fläche). In meiner Aufgabe
> muss ich nun alle 4 s-Kurven für den Wert s=0.5 lösen.
> Die vier neuen Punkte die ich daraus erhalte ergeben dann
> eine neue Kurve in t-Richtung, auf der ich irgendwo mein
> t=0.2 finden muss.
>
> Ist das was ich vor habe so in etwa richtig? Mir fehlt da
> momentan ein wenig der mathematische Einstieg dazu und ich
> weiß nicht genau wo ich anfangen soll.
>
Ja, das was Du vor hast, ist richtig.
> Danke für die Hilfe!
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die Hilfe!
Ich hab nun das Summenzeichen in der allgemeinen Polynomdarstellung wegbekommen, in dem ich n=3 eingesetzt habe:
[mm] \\C(t) [/mm] = [mm] P_0(1-t)^3 [/mm] + [mm] 3P_1 (1-t)^2 [/mm] t + [mm] 3P_2(1-t)t²+P_3t³
[/mm]
wobei [mm] P_i [/mm] jeweils eine x,y und z-Komponente enthält. Nun hab ich die Punkte P_11 bis P_14 als [mm] P_0 [/mm] bis [mm] P_3 [/mm] eingesetzt, die daraus entstandenen 4 Koordinaten wiederum in obige Formel mit t=0,5 eingesetzt und habe nun als Ergebnis folgendes erhalten:
[mm] \vektor{0 \\ -1,8 \\ 0,184}
[/mm]
Ist das Ergebnis richtig?
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Hallo apfelkeks,
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Ich hab nun das Summenzeichen in der allgemeinen
> Polynomdarstellung wegbekommen, in dem ich n=3 eingesetzt
> habe:
>
> [mm]\\C(t)[/mm] = [mm]P_0(1-t)^3[/mm] + [mm]3P_1 (1-t)^2[/mm] t + [mm]3P_2(1-t)t²+P_3t³[/mm]
>
Benutze nicht die alternative Tastenbelegung der Tasten 2 und 3.
> wobei [mm]P_i[/mm] jeweils eine x,y und z-Komponente enthält. Nun
> hab ich die Punkte P_11 bis P_14 als [mm]P_0[/mm] bis [mm]P_3[/mm]
> eingesetzt, die daraus entstandenen 4 Koordinaten wiederum
> in obige Formel mit t=0,5 eingesetzt und habe nun als
> Ergebnis folgendes erhalten:
>
> [mm]\vektor{0 \\ -1,8 \\ 0,184}[/mm]
>
> Ist das Ergebnis richtig?
Da ist wohl etwas schief gelaufen.
Gruss
MathePower
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![[]](http://i.imgur.com/54aXXNX.png){kind=small}
http://i.imgur.com/54aXXNX.png
