Punkt finden mit abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Welche Punkte auf der Geraden durch die Punkte A(6/-8/3) und B(-6/8/7) haben vom Punkt C(1/-2/3) den Abstand 3? |
Ich hab mir gedacht :
[mm] (-6-x)^2 [/mm] + [mm] (8-y)^2 [/mm] + [mm] (7-z)^2=3^2
[/mm]
Diese (x/y/z) sind ja:
[mm] \vektor{x \\ y\\ z}=\vektor{6 \\ -8\\ 3} [/mm] + AB*t
AB= Richtungsvektor
so könnte man das ja einsetzen und nach t auflösen?!
Jedoch fkt. es nicht. Aber es wäre doch logisch? Hab es mehrmals probiert. Gibt es einen anderen Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 08.08.2007 | | Autor: | kochmn |
GRÜNDLICH KORRIGIERTE VERSION DES ORIGINALARTIKELS.
Hallo Kamikaze,
an sich sieht Dein Grundgedanke gar nicht schlecht aus.
Gehen wir's mal durch (schon weil ich gerade kein Schmierpapier
da habe... so siehst Du immerhin auch gleich meine Überlegungen)
Die Gerade besteht aus allen Punkten
[mm]
\vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)} = \vektor{6 \\ -8 \\ 3} + t\cdot \vektor{-12 \\ 16 \\ 4} = \vektor{6-12t \\ -8+16t \\ 3+4t}
[/mm]
und jetzt musst Du halt die Differenz (x,y,z)-(1,-2,3) bilden,
Pythagoras einsetzen und nach $t$ auflösen:
[mm] $3^2\overset{!}{=} (x-1)^2 [/mm] + [mm] (y+2)^2 [/mm] + [mm] (z-3)^2$
[/mm]
[mm] $=(5-12t)^2+(-6+16t)^2+(4t)^2$
[/mm]
[mm] $=(25-120t+144t^2)+(36-192t+256t^2)+(16t^2)$
[/mm]
[mm] $=416t^2-312t+61$
[/mm]
genau dann, wenn
[mm] $0=416t^2-288t+52$
[/mm]
Und wenn Du DAS auflöst kommst Du in der Tat auf zwei schöne
Werte für t, die Du dann in Deine Geradengleichung einsetzen kannst!
Liebe Grüße sendet Dir
Markus-Hermann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kamikazelini!
Deine Idee mit der Kugelgleichung mit dem Radius $r \ = \ 3$ ist doch schon sehr gut. Allerdings musst Du hier auch den Punkt $C_$ als Mittelpunkt wählen:
[mm] $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^2$ $\gdw$ $\left[\vec{x}-\vektor{1\\-2\\3}\right]^2 [/mm] \ = \ 9$
Und hier nun die Geradengleichung [mm] $g_{AB} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ ...$ einsetzen und nach $t \ = \ ...$ auflösen.
Damit erhält man dann auch zwei schöne glatte Werte ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 08.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Loddar,
Mein Vorschlag muss einen Fehler enthalten, denn wenn ich Abstand
Punkt-Gerade ganz normal über das Kreuzprodukt berechne komme ich auf
einen Minimalabstand g<->P von < 2.
Aber mein Vorschlag ist deckungsgleich mit Deinem Vorschlag bis hin zur Berechnung
$ [mm] (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^2 [/mm] $
Wenn ich hier nun die drei Gleichungen
$x=6-12t$
$y=-8+16t$
$z=3+4t$
einsetze ergibt sich aber partout eine Gleichung die für $t$ keine reellen
Lösungen hat!
Ich sehe es gerade überhaupt nicht... könntest Du nochmal kurz einen Blick
auf meine Rechnung werfen?
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mi 08.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo nochmal, Loddar,
vergiss' es!
Ich war einfach unfähig richtig einzusetzen!
Habe mittlerweile den Text korrigiert.
Und ja: Dann kommen auch zwei schöne, reelle Werte für t raus!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
|
|
|
|
