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Punkt in Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Fr 08.02.2008
Autor: little_doc

Aufgabe
Gegeben sie die Pyramide mit der Grundfläche bestehend aus den Punkten A=(1,1,1), B(4,3,5), C=(2,2,4), D=(0,yD,3) und der Spitze S=(1,1,20)

a: Geben Sie yD so an, dass A, B, C, D in einer Ebene liegen!
b: in welchem Verhältnis teilt die Ebene E (A, C, S) das Volumen der Pyramide?
c: welches ist das Volumen der Pyramide

Salü zusammen

zu a: Ich kann mal sicher die Ebene bestimmen, in werlcher die Punkte A, B, C liegen. Doch wie kriege jetzt die Koordinate von yD raus?

zu b: genau kein plan

zu c: müsste mit dem Spatprodukt zu erledigen sein. Wenn ich die Punkte habe, schaff ich das evtl. aleine

        
Bezug
Punkt in Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Fr 08.02.2008
Autor: weduwe

beginnen wir mit
a) stelle die ebene auf und setze den punkt D ein, dann bekommst du [mm] y_D [/mm]

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Bezug
Punkt in Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Fr 08.02.2008
Autor: little_doc

Argh, die Idee hatte ich eben auch noch. Kam aber nicht das richtige raus :-(

Gut, nochmals nachrechenen....
Folgende Vektoren erhalte ich:

[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 3 \\ 5}-\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{3 \\ 2 \\ 4 } [/mm]

[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{2 \\ 2 \\ 4}-\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 3 } [/mm]

Ebene also

[mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 5} [/mm] +s* [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] +t* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3 } [/mm]

Also

[mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 5} [/mm] +s* [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] +t* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ yD \\ 3 } [/mm]

Somit das gleichungssystem:
4 + 3s + t = 0
3 + 2s + t = yD
5 + 4s + 3t = 3

s = -2
t = 2
yD = 1   --> Stimmt mit Lösungen überein!

Ja, sorry + danke, ist mir irgendwo ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Hab vor lauter Bäumen wohl den Wald nicht mehr gesehen...

am hättest du zu b und c auch noch eine Hilfestellung? also vorallem zu b vorerst...

lg Tobi



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Punkt in Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Fr 08.02.2008
Autor: Maggons

Hallo!

Du erhälst, wenn du diese Ebene als Begrenzung einsetzt "einen neuen Körper"; berechne das Volumen dieses neuen Körpers und setze es in ein Verhältnis mit der gesamte Pyramide.

Wenn das Stück dann z.B. 5 RE groß ist und die gesamte Pyramide 15 RE hat, teilt die Eben die Pyramide im Verhältnis 1:2.

Lg

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Punkt in Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Fr 08.02.2008
Autor: little_doc

Hm, komme jetzt mit der Volumenberechnung doch nicht weiter.

V = [mm] ¦\overrightarrow{C}*(A [/mm] x B)

C müsste dann die Normale zur Ebene sein...? hm, irgendwie blick ich nicht durch.

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Punkt in Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Fr 08.02.2008
Autor: MathePower

Hallo little_doc,

> Hm, komme jetzt mit der Volumenberechnung doch nicht
> weiter.
>  
> V = [mm]¦\overrightarrow{C}*(A[/mm] x B)
>  
> C müsste dann die Normale zur Ebene sein...? hm, irgendwie
> blick ich nicht durch.

[mm]\overrightarrow{A}[/mm] und [mm]\overrightarrow{B}[/mm] sind die Richtungsvektoren der Ebene. Bildet man das Vektorprodukt [mm]\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}[/mm] so erhält man den zugehörigen Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] dieser Ebene.

Der Vektor [mm]\overrightarrow{C}[/mm] ist ein Vektor der nicht in der Ebene liegt.

Gruß
MathePower

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Punkt in Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Fr 08.02.2008
Autor: weduwe

zunächst  b)
du machst aus einer  pyramide mit 4eckiger grundfläche zwei mit dreieckiger grundfläche. da beide dieselbe höhe haben, entspricht das verhältnis der volumina dem der beiden grundflächen.

also berechne [mm] A(\Delta{ABC}) [/mm] und [mm] A(\Delta{ACD}), [/mm] am einfachsten geht das jeweils mit dem vektorprodukt.

und c) am einfachsten über das spatprodukt mit den  vektoren [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS}. [/mm]

nebenbei [mm] y_D [/mm] = 1 ist richtig.

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Punkt in Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Fr 08.02.2008
Autor: little_doc

Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch durch 3 oder warens 6? teilen?

lg

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Punkt in Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Fr 08.02.2008
Autor: weduwe


> Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
>  Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch
> durch 3 oder warens 6? teilen?
>  
> lg  

da es eine 4eckige pyramide ist, teile durch 3


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Punkt in Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Fr 08.02.2008
Autor: MathePower

Hallo little_doc,

> Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.

[ok]

>  Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch
> durch 3 oder warens 6? teilen?

Laut Pyramide muß noch durch 3 geteilt werden.

>  
> lg  

Gruß
MathePower

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Bezug
Punkt in Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Fr 08.02.2008
Autor: weduwe


> Hallo little_doc,
>  
> > Also, fürs spatpruduckt erhalte ich dann 19FE.
>  
> [ok]
>  
> >  Damit's jetzt das Volumen der Pyramide wird, muss ich noch

> > durch 3 oder warens 6? teilen?
>  
> Laut Pyramide muß
> noch durch 3 geteilt werden.
>  
> >  

> > lg  
>
> Gruß
>  MathePower

wenn die grundfläche ein dreieck ist, muß man das spatprodukt durch 6 teilen.


Bezug
                                                                
Bezug
Punkt in Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Fr 08.02.2008
Autor: little_doc

Supi.

Vielen Dank für deine Hilfe :-)

lg Tobi

Bezug
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