Punkt innerhalb eines Dreiecks < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:56 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Die Punkte A, B und C bilden ien Dreieck. Untersuche, ob der Punkt [mm] P(\bruch{10}{3}/\bruch{11}{6}/-\bruch{1}{3}) [/mm] im Inneren des Dreiecks liegt.
A(3/3/1) B(3/0/-2) C(1/1/0) |
Hallo,
ich bereite mich gerade für mein Abi vor und hätte gerne deshalb diese Aufgabe korrigiert bekommen.
Ich habe die Parametgleich für die Ebene ABC aufgestellt.
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ -3 \\ -3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OP} [/mm] = E
-> [mm] \mu [/mm] = [mm] -\bruch{7}{6}
[/mm]
Da [mm] \mu [/mm] bereits <0 ist, ist es nicht mehr wichtig wie groß [mm] \lambda [/mm] ist.
-> P liegt außerhalb des Dreiecks ABC.
Vielen Dank
LG
sardelka
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> Die Punkte A, B und C bilden ien Dreieck. Untersuche, ob
> der Punkt [mm]P(\bruch{10}{3}/\bruch{11}{6}/-\bruch{1}{3})[/mm] im
> Inneren des Dreiecks liegt.
>
> A(3/3/1) B(3/0/-2) C(1/1/0)
> Hallo,
>
> ich bereite mich gerade für mein Abi vor und hätte gerne
> deshalb diese Aufgabe korrigiert bekommen.
>
> Ich habe die Parametgleich für die Ebene ABC aufgestellt.
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\ -3 \\ -3}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{-2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] = E
>
> -> [mm]\mu[/mm] = [mm]-\bruch{7}{6}[/mm]
>
> Da [mm]\mu[/mm] bereits <0 ist, ist es nicht mehr wichtig wie groß
> [mm]\lambda[/mm] ist.
>
> -> P liegt außerhalb des Dreiecks ABC.
Hallo!
Deine Ideen sind soweit richtig, die Umsetzung müsste aber etwas exakter sein. Wenn du nachweisen willst, dass der Punkt P in ABC liegt (oder nicht), musst du die Ebene in der Form
$OA + [mm] \lambda*AB [/mm] + [mm] \mu*AC$
[/mm]
oder
$OB + [mm] \lambda*BA [/mm] + [mm] \mu* [/mm] BC$
oder
$OC + [mm] \lambda*CA [/mm] + [mm] \mu* [/mm] CB$
d.h. deine Richtungsvektoren müssen immer vom Punkt A, B oder C ausgehend zu den anderen beiden Punkten zeigen. Wenn nun P im Dreieck ABC liegen soll, muss
0 < [mm] \lambda
[/mm]
und
0 < [mm] \mu
[/mm]
gelten sowie
[mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] < 1.
Überprüfe das bei dir! (Tipp: Dein Ergebnis stimmte trotzdem)
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:28 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Oh, okej, das habe ich leider nicht beachtet. Aber ich verstehe jett auch warum es von einem Punkt ausgehen soll.
Ich verstehe aber nicht, warum [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] nur größer Null sein sollen. Denn das Dreieck ist ja nicht unendlich, sondern hat bestimmte Länger, also darf auch [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] nur höchstes 1 sein, oder nicht?
Und dass sie zusammenaddiert <1 ergeben müssen, habe ich jetzt auch verstanden, glaube ich. Zumindest als ich mir das eben eingezeichnet habe, kam es hin. :)
Allerding darf doch [mm] \mu [/mm] + [mm] \lambda [/mm] auch mal genau 1 ergeben, oder?
Dann liegt es ja auf der Seite des Dreiecks, oder heißt es dann, dass der Punkt nicht mit im Inneren des Dreiecks sondern auf der Seite des Dreiecks liegt?
Vielen Dank
LG
sardelka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
> Ich verstehe aber nicht, warum [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] nur größer
> Null sein sollen.
Weil du sonst von Deinem Ausgangspunkt in die falsche Richtung gehst (vom Dreieck weg).
> also darf auch [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] nur höchstes 1 sein, oder nicht?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dass sie zusammenaddiert 1 ergeben müssen, habe ich
> jetzt auch verstanden, glaube ich.
Nein, das muss nicht so sein. Beide Parameter für sich muüssen kleiner 1 sein.
Sollten nun gelten [mm] $\lambda [/mm] \ = \ [mm] \my [/mm] \ = \ 0{,}8$ , liegt der Punkt auch innerhalb des Dreieckes, die Summe beider Parameter ist aber ungleich 1.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Perfekt, alles verstanden, jetzt nur noch mit Pyramide, dann habe ich´s drauf :)
Danke schön
LG
sardelka
PS: Muss jetzt zu einer Lerngruppe. Bin um 11 Uhr wieder da, würde mich freuen, wenn jemand die Pyramide berichtigen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Di 28.04.2009 | | Autor: | Jal |
Ich habe auch eine solche Aufgabe zu lösen...
Meine Frage ist, ob man die Lage des Punktes nicht einfach durch die Abstände bestimmen kann?
Mein Dreieck ist Gleichschenklig und dadurch ist das ganze etwas einfacher. Ich dachte mir, dass der längste Abstand ja auch quasi einen Radius darstellen kann.
Wenn der Punkt weiter entfernt ist, ist er außerhalb des Dreiecks.
Wenn er nähe dran ist müssen die anderen Entfernungen berücksichtigt werden.
Man erzeugt sozusagen Kreise, die sich über dem Dreieck überlagern.
Kann man das so machen oder habe ich dabei etwas übersehen?
Danke schon mal für die Hilfe!
Gruß Jal
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> Ich habe auch eine solche Aufgabe zu lösen...
> Meine Frage ist, ob man die Lage des Punktes nicht einfach
> durch die Abstände bestimmen kann?
Hallo Jal,
dies würde bestimmt nicht einfacher als mit der
besprochenen Zerlegungsmethode, sondern wohl
deutlich komplizierter. Um die Lage eines Punktes
P(x/y) in der Ebene aus seinen Entfernungen von
drei Punkten A,B,C zu bestimmen, käme man rechne-
risch auf ein System von drei quadratischen Glei-
chungen. Bei der Zerlegungsmethode hat man es
dagegen nur mit linearen Gleichungen bzw. Unglei-
chungen zu tun.
LG Al
> Mein Dreieck ist gleichschenklig und dadurch ist das ganze
> etwas einfacher. Ich dachte mir, dass der längste Abstand
> ja auch quasi einen Radius darstellen kann.
> Wenn der Punkt weiter entfernt ist, ist er außerhalb des
> Dreiecks.
> Wenn er nähe dran ist müssen die anderen Entfernungen
> berücksichtigt werden.
> Man erzeugt sozusagen Kreise, die sich über dem Dreieck
> überlagern.
>
> Kann man das so machen oder habe ich dabei etwas
> übersehen?
>
> Danke schon mal für die Hilfe!
>
> Gruß Jal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Di 28.04.2009 | | Autor: | Jal |
Ok ich wollte eigentlich nur wissen, ob es überhaupt geht.
Danke Al.
Gruß Jal
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