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| Aufgabe | Durch die Punkte A(0/3/6), B(1/2/-6) und C(-9/-2/2) ist die Ebene E festgelegt. Außerdem sind der Punkt P(5/4/0) und die Gerade g g:vec x=(0/4/5)+t(-1/0/1) gegeben.
a)Bestimmen sie die gleichung der ebene e in normalenform
b) berechnen sie die koordinaten des schnittpunkts s der geraden mit der ebene e
c) weisen sie nach, dass der punkt p auf der geraden g liegt und berechnen sie die länge der strecke sp
d) berechnen sie den abstand des punktes p von der ebene e
e) berechnen sie die koordinaten des zu p symmetrischen punktes p bezüglich der ebene e |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
das is meine nächste aufgabe die ich üben wollte.
a) E:vec x=(0/3/6)+lambda(1/-1/0)+my(-9/-5/-3) in der koordinatenform und um die normalenform rauzukriegen einfach vektor n senkrecht auf vektor u: (n1/n2/n3)*(1/-1/0) und vektor n senkrecht auf vektor v (n1/n2/n3)*(-9/-5/-3) etc?
b)ebene mit gerade gleichsetzen?
c) P in t von der geraden einsetzen? und dann betrag vektor sp?
soweit erst mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mo 11.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Durch die Punkte A(0/3/6), B(1/2/-6) und C(-9/-2/2) ist die
> Ebene E festgelegt. Außerdem sind der Punkt P(5/4/0) und
> die Gerade g g:vec x=(0/4/5)+t(-1/0/1) gegeben.
> a)Bestimmen sie die gleichung der ebene e in normalenform
> b) berechnen sie die koordinaten des schnittpunkts s der
> geraden mit der ebene e
> c) weisen sie nach, dass der punkt p auf der geraden g
> liegt und berechnen sie die länge der strecke sp
> d) berechnen sie den abstand des punktes p von der ebene
> e
> e) berechnen sie die koordinaten des zu p symmetrischen
> punktes p bezüglich der ebene e
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> das is meine nächste aufgabe die ich üben wollte.
> a) E:vec x=(0/3/6)+lambda(1/-1/0)+my(-9/-5/-3) in der
> koordinatenform und um die normalenform rauzukriegen
> einfach vektor n senkrecht auf vektor u:
> (n1/n2/n3)*(1/-1/0) und vektor n senkrecht auf vektor v
> (n1/n2/n3)*(-9/-5/-3) etc?
Korrekt. Am einfachsten ist es, den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] aus den Kreuzprodukt der beiden Richtugnsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] bestimmst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also:
[mm] \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}
[/mm]
Und dann mit [mm] d=\vec{n}*\vec{a} [/mm] (Skalarprod.) das d aus der Normalenform [mm] \vec{n}*\vec{x}=d [/mm] bestimmen.
> b)ebene mit gerade gleichsetzen?
das ist eine Möglichkeit. Einfacher ist es, die Gerade in die Normalenform einzusetzen, somit hast du eine Gleichung für den Parameter der Geraden.
> c) P in t von der geraden einsetzen? und dann betrag
> vektor sp?
> soweit erst mal
Korrekt.
d)
Berechne mal den Schnittpunkt der Geraden [mm] h:\vec{p}+\mu\vec{n}, [/mm] ich Nenne ihn F.
Und der Abstand ist dann [mm] |\overrightarrow{FP}|
[/mm]
e) der Abstand von P' zur Ebene E ist derselbe wie der in d berechnete Abstand von P zu F.
Also: [mm] \vec{p'}=\vec{f}+\overrigtarrow{FP}.
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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also ich hab jetzt als normalengleichung der ebene:3x1+3x2-14x3=-75 und den schnittpunkt (-1/0/6) stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mo 11.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Das stimmt so.
Marius
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ich bin grade zu blöd den schnittpunkt auszurechnen glaub ich, wenn ich dass nach deiner gleichung mache kommt da für my 0 raus..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mo 11.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich komme auf die Ebenengleichung:
E: [mm] \vektor{3//3//4}*\vektor{x//y//z}=-15
[/mm]
Und damit auf:
[mm] 3(0-\mu)+3(4-0\mu)-4(5+\mu)=-15
[/mm]
Und das führt nicht zu [mm] \mu=0
[/mm]
Marius
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wie kommst du denn darauf? dann war doch meine gleichung bei a) schon falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Do 14.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> wie kommst du denn darauf? dann war doch meine gleichung
> bei a) schon falsch?
Bei der Berechnung der Richtungsvektoren sind dir leider Fehler unterlaufen.
Du hattest geschrieben:
> Aufgabe
Durch die Punkte A(0/3/6), B(1/2/-6) und C(-9/-2/2) ist die Ebene E festgelegt. Außerdem sind der Punkt P(5/4/0) und die Gerade g g:vec x=(0/4/5)+t(-1/0/1) gegeben.
a)Bestimmen sie die gleichung der ebene e in normalenform
b) berechnen sie die koordinaten des schnittpunkts s der geraden mit der ebene e
c) weisen sie nach, dass der punkt p auf der geraden g liegt und berechnen sie die länge der strecke sp
d) berechnen sie den abstand des punktes p von der ebene e
e) berechnen sie die koordinaten des zu p symmetrischen punktes p bezüglich der ebene e
das is meine nächste aufgabe die ich üben wollte.
a) E:vec x=(0/3/6)+lambda(1/-1/0)+my(-9/-5/-3) in der koordinatenform und um die normalenform rauzukriegen einfach vektor n senkrecht auf vektor u: (n1/n2/n3)*(1/-1/0) und vektor n senkrecht auf vektor v (n1/n2/n3)*(-9/-5/-3) etc?
Die Gleichung für E lautet aber:
$ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 6} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -1 \\ -12} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-9 \\ -5 \\ -4} [/mm] $
Ein Normalenvektor ist:
$ [mm] \vektor{4 \\ -8 \\ 1} [/mm] $
Die Koordinatengleichung also
$ 4 [mm] x_1 [/mm] - 8 [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -18 $
Hier noch ein Tipp: Wenn du eine Koordinatengleichung aufgestellt hast, prüfe nach, ob die gegebenen Punkte auch wirklich in der Ebene liegen. Das ist bei der Koordinatenform eine schnelle und einfache Rechnung.
Gruß
Sigrid
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und wieso 4x1-8x2+x3 -3 =-18?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Fr 15.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
das würde ich auch gerne wissen!
klar ist jedenfalls, dass
[mm] 4x_{1} -8x_{2} +x_{3}
[/mm]
dem normalenvektor entspricht [mm] \vektor{4\\-8 \\1} [/mm]
bei wikipedia steht nichts von ... -3 = -18
http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform
ich wandle die parameterform in die koordinatenform mithilfe eines gleichungssystems, in dem ich die beiden parameter schrittweise eleminiere. dies ist aber wahrscheinlich komplizierter als über den normalenvektor zu gehen. weiß aber dann nie, was ich für b einsetzen muß!
gruß
wolfgang
p.s. ich habe mal die punkte A, B und C in die Koordinatengleichung eingesetzt...
A(0/3/6)
4*0 -8*3 +1*6 = -18
B(1/2/-6)
4*1 -8*2 -6 = -18
C(-9/-2/2)
4*(-9) -8*(-2) +2 = -18
=> E: [mm] 4x_{1} -8x_{2} +x_{3} [/mm] = -18
oder
E: [mm] 4x_{1} -8x_{2} +x_{3} [/mm] +18 = 0
vielleicht hilft das zu verstehen, wie es zu -18 kommt... 
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du meinst sowas hier?
[mm] \vec [/mm] n [mm] \perp \vec [/mm] u : [mm] \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1 \\ -12 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] n [mm] \perp \vec [/mm] v : [mm] \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9\\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Fr 15.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
stimmt! so könnte man den normalenvektor auch ausrechnen. oder eben über das kreuzprodukt (s.o.!!).
nein, ich meinte:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\3 \\ 6} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -1 \\-12} +s*\vektor{-9 \\ -5 \\-4}
[/mm]
bzw.
E: [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\3 \\ 6} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ -1 \\-12} +s*\vektor{-9 \\ -5 \\-4}
[/mm]
daraus erhalte ich drei gleichungen:
x = 0 +r*1 +s*(-9)
y = 3 +r*(-1) +s*(-5)
z = 6 +r*(-12) +s*(-4)
I. x = r -9s
II. y = 3 -r -5s
III. z = 6 -12r -4s
jetzt addiere ich I. + II.
IV. x+y = 3 -14s
und addiere III. + (12*I.)
V. z +12x = 6 -112s
jetzt habe ich nur noch zwei gleichungen, in denen nur noch s als parameter vorkommt. diese forme ich so um, dass auch dieser parameter wegfällt...
ich nehme gleichung IV. mal -8
IV. -8x -8y = -24 +112s
und addiere dazu V.
V. V. z +12x = 6 -112s
ich erhalte:
4x -8y +z = -18
das ist der andere Weg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> und wieso 4x1-8x2+x3 -3 =-18?
Sorry, das war ein Schreibfehler.
Statt [mm] x_3 [/mm] hab ich x-3 geschrieben. Ich hab's korrigiert
Gruß
Sigrid
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und bei d) und e) wie geht das? ich versteh die gleichung die ich machen soll nach m.rex nicht. oder ist (5/4/0)+my*(4/-8/1) gemeint?
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ok also d) hab ich jetzt raus und zwar 2/3 für den abstand...aber mir ist nicht klar was ich damit in e) anfangen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Sa 16.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
veranschauliche dir das problem doch noch mal! mach ne skizze.
du hast eine ebene und einen punkt P, der den abstand d zur ebene besitzt.
jetzt suchst du den punkt P', der symmetrisch zu P liegen soll. also denselben abstand zur ebene hat wie P. die gerade PP' bzw. die geraden PF und FP' hat bzw. haben als richtungsvektor den normalenvektor.
d.h. du musst nur vom punkt F zum punkt P' die länge d in richtung des normalenvektors gehen, und schon bist du bei P'.
p.s. ich nehme an, dass marius das meinte, möchte jetzt aber nicht tiefer in die aufgabe einsteigen.
gruß
wolfgang
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