Punkte auf einer Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 31.08.2009 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen. |
A (0|1|-1), B (2|3|5), C (-1|3|-1), D (2|2|2)
Meine Idee war die Koordinatengleichung der Ebene zu bestimmen.
[mm] +0a_{1} +1a_{2}-1a_{3}=b
[/mm]
[mm] +2a_{1} +3a_{2}+5a_{3}=b
[/mm]
[mm] -1a_{1}+3a_{2}-1a_{3}=b
[/mm]
[mm] +2a_{1} +2a_{2}+2a_{3}=b
[/mm]
Ist das soweit richtig?
und meine 2te Frage. Was ist der nächste Schritt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mo 31.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
das wird dir weiterhelfen: Link
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 31.08.2009 | | Autor: | low_head |
Ich hab es nun anders versucht.
Ich hab mit A, B und C eine Ebenengleichung aufgestellt.
x = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}+r\vektor{2 \\ 2 \\ 6}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
wenn ich nun für x den Punkt D ein setzte und das ganze im LGS löse bekomme ich folgende ergebnisse
[mm] \vektor{2 \\ 2/3 \\ -2/3}
[/mm]
ist das nun richtig? Oô und was heißt das für meine Lösung?
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Hallo low_head,
> Ich hab es nun anders versucht.
>
> Ich hab mit A, B und C eine Ebenengleichung aufgestellt.
>
> x = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+r\vektor{2 \\ 2 \\ 6}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wenn ich nun für x den Punkt D ein setzte und das ganze im
> LGS löse bekomme ich folgende ergebnisse
>
> [mm]\vektor{2 \\ 2/3 \\ -2/3}[/mm]
Wie kommt dieses Ergebnis zustande?
Gesucht sind doch Parameter r,s ...
Wie kommst du auf ne Matrix?
Zu lösen ist doch [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+r\vektor{2 \\ 2 \\ 6}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}=\vektor{2\\2\\2}$
[/mm]
Übersetzt in ein LGS:
[mm] $\vmat{2r&-&s&=&2\\2r&+&2s&=&1\\6r&&&=&3}$
[/mm]
Aus der letzten Zeile ergibt sich [mm] $r=\frac{1}{2}$
[/mm]
Setze das ein in Gleichung 1 und 2 und schaue, ob du insgesamt eine eindeutige Lösung für r und s bekommst ...
>
> ist das nun richtig? Oô und was heißt das für meine
> Lösung?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 31.08.2009 | | Autor: | low_head |
ah.. dann bekomm ich für
s=-1 und s=0 raus d.h. die Punkte liegen nicht auf einer Ebene?
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Hallo!
> ah.. dann bekomm ich für
>
> s=-1 und s=0 raus d.h. die Punkte liegen nicht auf einer
> Ebene?
Das heißt nämlich zunächst einmal, dass es keine Lösung für das Gleichungssystem gibt. Daraus kannst du folgern, dass es für keine Wahl der Parameter r und s möglich ist, den Ortsvektor von D durch deine aus A,B und C erzeugte Ebene darzustellen. Folglich liegt D nicht in der Ebene ABC, also liegen A, B, C und D nicht in einer Ebene 
Grüße,
Stefan.
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> Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer
> gemeinsamen Ebene liegen.
> A (0|1|-1), B (2|3|5), C (-1|3|-1), D (2|2|2)
>
> Meine Idee war die Koordinatengleichung der Ebene zu
> bestimmen.
>
> [mm]+0a_{1} +1a_{2}-1a_{3}=b[/mm]
> [mm]+2a_{1} +3a_{2}+5a_{3}=b[/mm]
>
> [mm]-1a_{1}+3a_{2}-1a_{3}=b[/mm]
> [mm]+2a_{1} +2a_{2}+2a_{3}=b[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
> und meine 2te Frage. Was ist der nächste Schritt?
>
>
>
evtl schneller wärst du wenn dir der begriff ![[]](/images/popup.gif) Spatprodukt was sagt?
Spatprodukt = Volumen eines von 3 Vektoren aufgespannten Spats
wenn du jetzt
nehmen wir an wir haben die 3 vektoren
[mm] \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}
[/mm]
wenn die punkte alle in einer ebene sind, sind auch die verbindungsvektoren in einer ebene und das volumen wäre somit 0!
berechnen musst du dann lediglich die determinante:
[mm] V=[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]=\vmat{ a_x & b_x & c_y \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z }
[/mm]
mit der Regel von Sarrus ein klacks
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Gauß-Algorithmus