Punkte auf komplexer Ebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie viele Punkte in der komplexen Ebene enthalten die Mengen { [mm] z^n [/mm] | z [mm] \in \IN [/mm] } für z = cos (0.6 [mm] \pi) [/mm] + i sin (0.6 [mm] \pi)? [/mm] |
Hierraus ist schonmal ersichtlich, dass die Punkte auf dem Einheitskreis liegen müssen (r = 1, [mm] 1^x [/mm] = 1).
Meine Grundüberlegung ist folgende: Sobald man das erste mal auf dem Ursprungspunkt wieder angelangt ist, gibt es keine neuen Punkte mehr, da sich ab dann alles zyklisch wiederholt. Demnach muss ich das kleinste positive ganzzahlige x finden, für das die Gleichung 0.6 * x * [mm] \pi [/mm] = 2 * [mm] \IN [/mm] (=y) * [mm] \pi [/mm] + 0.6 [mm] \pi [/mm] gelöst wird.
Für y = 1 => x = 13/3
y = 2 => x = 23/3
y = 3 => x = 33/3 = 11 :)
Demnach ist [mm] z^1 [/mm] = z^11 und es gibt maximal 10 verschiedene Punkte auf dem Einheitskreis.
Ist das so richtig?
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Hallo G-Hoemle,
> Wie viele Punkte in der komplexen Ebene enthalten die
> Mengen { [mm] z^n [/mm] | z [mm] \in \IN [/mm] } für z = cos (0.6 [mm] \pi)+ [/mm] i sin (0.6 [mm] \pi)?
[/mm]
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> Hierraus ist schonmal ersichtlich, dass die Punkte auf dem
> Einheitskreis liegen müssen (r = 1, [mm]1^x[/mm] = 1).
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> Meine Grundüberlegung ist folgende: Sobald man das erste
> mal auf dem Ursprungspunkt wieder angelangt ist, gibt es
> keine neuen Punkte mehr, da sich ab dann alles zyklisch
> wiederholt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Demnach muss ich das kleinste positive
> ganzzahlige x finden, für das die Gleichung 0.6 * x * [mm]\pi[/mm]
> = 2 * [mm]\IN[/mm] (=y) * [mm]\pi[/mm] + 0.6 [mm] \pi [/mm] gelöst wird.
Warum löst du nicht gleich so auf, dass [mm] 1=z^0=z^n [/mm] und suchst das kleinste n>0, das diese Identität erfüllt?
Ich finde die Darstellung mit Polarkoordinaten anschaulicher:
[mm] z^n=\left(e^{0.6\pi\cdot i}\right)^n=e^{0.6\pi\cdot i\cdot n}=1
[/mm]
Die letzte Gleichung ist zu lösen und n soll minimal sein.
Also ist n=10, denn [mm] e^{0.6\pi\cdot i\cdot 10}=e^{6\pi\cdot i}=1
[/mm]
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> Für y = 1 => x = 13/3
> y = 2 => x = 23/3
> y = 3 => x = 33/3 = 11 :)
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> Demnach ist [mm]z^1[/mm] = z^11 und es gibt maximal 10 verschiedene
> Punkte auf dem Einheitskreis.
>
> Ist das so richtig?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 15.03.2011 | | Autor: | G-Hoernle |
Dachte mir schon, dass das mathematisch schöner geht. Da bin ich wohl ne Aufgabe weiter bei den Übungen als dass ich im Skript gelesen habe.
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