Punkte der komplexen Ebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Fertige ein Skizze an: Welche Punkte der komplexen Ebene werden durch die mengen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] beschrieben?
[mm] M_1={z\in \IC:2<|z-i|<4}
[/mm]
[mm] M_2={z\in \IC:|z-i|=|z+i|} [/mm] |
Okay...Verstehe ich richtig, dass ich dazu NUR eine Skizze anfertigen soll??
Also man weiß ja, dass man z durch z=x+yi ersetzen kann.
Also 2<|(x+yi)i|<4
daraus folt: |x+(y-1)i|<4
Ich kann dann [mm] \wurzel{x^2+(y-1)^2}<4 [/mm] setzen und erhalte [mm] x^2+(y-1)^2<^16
[/mm]
Ich weiß, dass die Skizze ein Kreisring sein muss, mit Innendurchmesser 2 und Außendurchmesser 4. i muss der Mittelpunkt sein.
Aber ich weiß leider nicht genau wie ich das anstelle...einfach solch einen Kreis beliebig in ein Koordinatensystem zeichnen?? Oder muss ich hier genaueres berechnen?
bei [mm] M_2 [/mm] hab ich folgendes...bin mir aber sehr unsicher!
|z-i|=|z+i|
|a+bi-i|=|a+bi+i|
|a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|
Wurzel[a²+(b-1)²]=Wurzel[a²+(b+1)²]
a²+b²-2b+1=a²+b²+2b+1
-2b+1=2b+1
4b=2
b=0,5
Aber was mache ich dazu für eine Skizze???
Gruß Mathegirl
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Hallo Mathegirl!
Für [mm] $M_1$ [/mm] hast Du die Skizze schon sehr gut beschrieben (und auch korrekt ermittelt). Wo ist nun das Problem der Skizze?
Für [mm] $M_2$ [/mm] hast Du ebenfalls korrekt gerechnet. Das Ergebnis ist also unabhängig von $a \ = \ Re(z)$ .
Jedoch wird für alle $z_$ ein konkreter Wert mit $b \ = \ Im(z) \ = \ 0{,}5$ genannt.
Wie sieht dieses Gebilde also in der Gauß'schen Zahlenebene aus?
Gruß vom
Roadrunner
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Das Problem liegt beim Einzeichnen darin, dass ich nicht weiß wo ich den Kreis unabhängig von den x,y Werten einzeichnen soll. einfach irgendwo in ein Koordinatensystem mit Mittelpunkt i? Allerdings darf ich keine Kreislinie zeichnen, da <4 gilt oder?
Bei [mm] M_2 [/mm] habe ich gar keine Vorstellung von einer Skizze. :( da fiel mir das rechnen doch leichter!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] M_1:
[/mm]
Wir malen:
1. eine Kreislinie mit Mittelpunkt i und Radius 2 (aber bitte gestrichelt !)
2. eine Kreislinie mit Mittelpunkt i und Radius 4 (aber bitte gestrichelt !)
Die Menge [mm] M_1 [/mm] sind nun alle Punkte zwischen den gestrichelten Kreislinien
Zu [mm] M_2:
[/mm]
Du hast doch berechnet: z [mm] \in M_2 \gdw [/mm] Im(z)=1/2
Nun male mal alle Punkte z mit Im(z)=1/2.
Ist das
A) eine Parabel ? B) eine Ellipse ?
C) eine Gerade ? D) ein Parallelepiped ?
Bitte einloggen (bei D) handelt es sich nicht um ein Medikament !!)
FRED
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[mm] okay...M_1 [/mm] ist mir ja klar, ich wusste ja wie das ausehen muss, aber ich habe keine Vorstellung wie ich z mit Im(z) zeichnen soll...
(Und nein, eine Parallelepiped ist mir bekannt ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]okay...M_1[/mm] ist mir ja klar, ich wusste ja wie das ausehen
> muss, aber ich habe keine Vorstellung wie ich z mit Im(z)
> zeichnen soll...
Wir übersetzen alles in die Sprache des [mm] \IR^2: [/mm] wo liegen die Punkte (x,y) mit y =1/2 ??
FRED
>
> (Und nein, eine Parallelepiped ist mir bekannt ;)
Für eine angehende Lehrerin vielleicht mal brauchbar:
http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped
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Kann nur eine Gerade sein oder???
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Hallo,
> Kann nur eine Gerade sein oder???
Ja, und welche? Wo und wie liegt sie?
Lass dir das doch nicht alles bröckchenweise aus der Nase ziehen!
Gruß
schachuzipus
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naja sie müsste parallel zur x Achse liegen, also für jeden x-Wert ist der y-Wert 0,5...oder nicht??
Mathegirl
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Hallo Mathegirl!
Genau so sieht es aus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dfx |
> [mm]M_2={z\in \IC:|z-i|=|z+i|}[/mm]
>
> bei [mm]M_2[/mm] hab ich folgendes...bin mir aber sehr unsicher!
> |z-i|=|z+i|
> |a+bi-i|=|a+bi+i|
> |a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|
> Wurzel[a²+(b-1)²]=Wurzel[a²+(b+1)²]
> a²+b²-2b+1=a²+b²+2b+1
> -2b+1=2b+1
> 4b=2
> b=0,5
Hallo Mathegirl,
die Rechnung wollte ich mir ja nochmal genauer anschauen. Dazu schreib ich sie erstmal in sauberer Form auf.
> $|z-i|=|z+i|$
> [mm] $\gdw [/mm] |a+bi-i|=|a+bi+i|$
> [mm] $\gdw [/mm] |a+(b-1)i|=|a+(b+1)i|$
(*)> [mm] $\gdw \wurzel{a^2+(b-1)^2}=\wurzel{a^2+(b+1)^2}$
[/mm]
So! Nun, hier möcht ich einen Fehler entdeckt haben. Und zwar unterschlägst du etwas. Unter der Fortsetzung deiner Rechnung, setze ich also nochmal neu an.
> [mm] $\gdw a^2+b^2-2b+1=a^2+b^2+2b+1$
[/mm]
> [mm] $\gdw [/mm] -2b+1=2b+1$
> [mm] $\gdw [/mm] 4b=2$
> [mm] $\gdw [/mm] b=0,5 $
ab (*): [mm] \gdw \wurzel{a^2 + (b-1)^2 \cdot i^2}= \wurzel{a^2 + (b+1)^2 \cdot i^2}
[/mm]
langsam und behutsam weiter...
[mm] \gdw \wurzel{a^2 + (b-1)^2 \cdot (-1)} [/mm] = [mm] \wurzel{a^2 + (b+1)^2 \cdot (-1)}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{a^2 - (b-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{a^2 - (b+1)^2}
[/mm]
[mm] \gdw^{3.Bin} \wurzel{a^2 - b^2-2b \cdot (-1)+(-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{a^2 - b^2 + 2b \cdot 1 + 1^2}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{a^2 - b^2+2b+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a^2 - b^2 + 2b + 1}
[/mm]
Wohin wolltest du noch gleich auflösen? Ehrlich gesagt bin ich selbst etwas erstaunt. Auf jeden Fall gibt es etwas, was uns weiterbringt. Allerdings sollte dir das jemand beantworten, der die Komplexen Zahlen besser kennt als ich.
> Aber was mache ich dazu für eine Skizze???
Meinen Schluß kennst du bereits. 
Gruss, dfx
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Hallo dfx,
>
> ab (*): [mm]\gdw \wurzel{a^2 + (b-1)^2 \cdot i^2}= \wurzel{a^2 + (b+1)^2 \cdot i^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
In der Wurzel hat [mm]i[/mm] nix verloren.
Es ist für [mm]z=a+bi[/mm] definiert: [mm]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm] ohne [mm]i[/mm] oder sonstwas ...
"Anders": [mm]|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2}[/mm]
Und Real- und Imaginärteil sind reelle (!!) Zahlen!
>
> langsam und behutsam weiter...
>
> [mm]\gdw \wurzel{a^2 + (b-1)^2 \cdot (-1)}[/mm] = [mm]\wurzel{a^2 + (b+1)^2 \cdot (-1)}[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{a^2 - (b-1)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{a^2 - (b+1)^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw^{3.Bin} \wurzel{a^2 - b^2-2b \cdot (-1)+(-1)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{a^2 - b^2 + 2b \cdot 1 + 1^2}[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{a^2 - b^2+2b+1}[/mm]
> = [mm]\wurzel{a^2 - b^2 + 2b + 1}[/mm]
>
> Wohin wolltest du noch gleich auflösen? Ehrlich gesagt bin
> ich selbst etwas erstaunt. Auf jeden Fall gibt es etwas,
> was uns weiterbringt. Allerdings sollte dir das jemand
> beantworten, der die Komplexen Zahlen besser kennt als
> ich.
>
> > Aber was mache ich dazu für eine Skizze???
> Meinen Schluß kennst du bereits.
Die richtige Lösung steht im thread ...
>
> Gruss, dfx
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dfx |
Gut, dann hab ich bewiesen, dass ich von komplexen Zahlen keine Ahnung habe :-(
Aber ich glaube trotzdem nicht, dass die Menge [mm] M_2 [/mm] alle Punkte auf einer horizontalen Geraden enthält.
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Hallo nochmal,
aber das ist doch geometrisch schon einleuchtend:
$|z-i|=|z+i|$ bedeutet doch $z$ hat von i denselben Abstand wie von -i
Und die Lösungsmenge sind alle [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von i und -i denselben Abstand haben.
Das ist die Mittelsenkrechte zw. i und -i
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dfx |
Ja, diese Herangehensweise ist mir auf jeden Fall klarer, als der Schluss, es wäre eine Horizontale parallel zur waagerechten Achse zu sehen, die genau einen Abstand von 0,5 hat.
Ich fand aus dem, was ich gerechnet habe, ging es auch hervor. In'em LGS würde man sagen, es hätte unendliche viele Lösung, ein Freiheitsgrad, und die Lösungen lägen auf einer Geraden.
Es liegt wohl an einer Lösung, die ich etwas missinterpretiert habe, aber sie stachelte mich dazu an, es nochmal durchzurechnen. Das das i unter der Wurzel nichts verloren hat, ok, aber die Vorzeichenänderung müsste doch trotzdem sein, oder nicht?
Wenn ich auf eine Gerade hinaus will, ist mir 0=0 irgendwie gewohnter.
Übrigens gab es dazu schonmal einen Thread. Leider ist die URL doch nicht wie erhofft im Zwischenspeicher und das Fenster schon geschlossen. Da wurde es auch sehr gut erläutert, aber da kam man nicht im Endeffekt auf 0,5.
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Hallo nochmal,
> Ja, diese Herangehensweise ist mir auf jeden Fall klarer,
> als der Schluss, es wäre eine Horizontale parallel zur
> waagerechten Achse zu sehen, die genau einen Abstand von
> 0,5 hat.
Das ist auch falsch, Mathegirl hatte sich verrechnet und alle sind drauf hereingefallen.
Es kommt nicht [mm]b=0,5[/mm] heraus, sonden [mm]b=\red{0}[/mm] (und [mm]a[/mm] beliebig)
Das ist die reelle Achse ...
>
> Ich fand aus dem, was ich gerechnet habe, ging es auch
> hervor. In'em LGS würde man sagen, es hätte unendliche
> viele Lösung, ein Freiheitsgrad, und die Lösungen lägen
> auf einer Geraden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es liegt wohl an einer Lösung, die ich etwas
> missinterpretiert habe,
und die falsch war!
> aber sie stachelte mich dazu an, es
> nochmal durchzurechnen. Das das i unter der Wurzel nichts
> verloren hat, ok, aber die Vorzeichenänderung müsste doch
> trotzdem sein, oder nicht?
Nein, nochmal:
[mm]|z-i|=|(a+(b-1)i|[/mm] und [mm]|z+i|=|a+(b+1)i|[/mm]
Also [mm]|z-i|=|z+i|\Rightarrow \sqrt{a^2+(b-1)^2}=\sqrt{a^2+(b+1)^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow a^2+b^2-2b+1=a^2+b^2+2b+1[/mm]
Also [mm]4b=0\Rightarrow b=0[/mm]
a fällt raus, spielt also für die Lösung keine Rolle und kann somit bel. reell gewählt werden ...
> Wenn ich auf eine Gerade hinaus will, ist mir 0=0
> irgendwie gewohnter.
>
> Übrigens gab es dazu schonmal einen Thread. Leider ist die
> URL doch nicht wie erhofft im Zwischenspeicher und das
> Fenster schon geschlossen. Da wurde es auch sehr gut
> erläutert, aber da kam man nicht im Endeffekt auf 0,5.
Ja, alle haben geschlafen bzw. Mathegirl die Rechnung zu leicht "abgenommen"
Kann passieren
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Do 25.11.2010 | | Autor: | dfx |
Puh, eigentlich wollte ich nur das zeigen. Ich saß eben total aufgelöst da und hab erstmal eine geraucht. Aber ich hab da noch etwas, womit dann hoffentlich alle Fragen und Fehler beseitigt sind.
zu Abb. 1: [mm] M_1 [/mm] = [mm] \{c \in \IC: 1 < |z-i| < 2 \}
[/mm]
[Externes Bild http://www.bilder-hochladen.net/files/gl5b-3.png]
Also die Bilder habe ich eben selbst noch nebenher gezeichnet. Abb. 1 ist nicht ganz korrekt, der Kreisring ist um Faktor 2 zu klein, leider auch die Beschriftungen. Abb. 2 ist nach einer Skizze eines Kommilitonen entstanden. Das erschien mir anfangs einleuchtend, nur hat er lediglich die 2 Schnittpunkte der Kreise als Punktmenge angegeben.
Ja, und Abb. 3 sind dann genau deine Worte.
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