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Forum "Geraden und Ebenen" - Punkte im kart. Koordinatensys
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Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Aufgabe
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2/2/-4), [mm] B_{t}(4/t/-2) [/mm] und [mm] C_{s}(s/2/-6) [/mm] mit s,t Element [mm] \IR [/mm] sowie die Punkte P(2/0/1) und Q(4/2/0) gegeben.

a) Stellen sie eine Gleichung der Ebene E, die die Punkte A, [mm] B_{1} [/mm] und [mm] C_{1} [/mm] enthält, in Parameterdarstellung auf.

b) Im Punkt P befindet sich eine Punktförmige Lichtquelle. Ein Laserstrahl verläuft von dort durch den Punkt Q und trifft dann in einem Punkt R auf die Ebene E. Bestimme die Koordinaten des Punktes R.

c) Alle Punkte [mm] B_{t} [/mm] mit t Element [mm] \IR [/mm] liegen auf einer Geraden g und alle Punkte [mm] C_{s} [/mm] mit s Element [mm] \IR [/mm] auf einer Geraden h. Bestimmen sie jeweils eine Gleichung für g und h und zeigen sie, dass die Geraden g und h windschief zueinander verlaufen.

d) Bestimme s Element [mm] \IR [/mm] so, dass der Abstand d der Punkte [mm] C_{s} [/mm] zum Koordinatenursprung 7 LE beträgt.

Die Aufgabe sollten wir als Übung zur Klausur bearbeiten, allerdings haben wird sowas bislang noch nicht gemacht. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!

LG

        
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Do 17.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus.,

> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(2/2/-4), [mm]B_{t}(4/t/-2)[/mm] und [mm]C_{s}(s/2/-6)[/mm] mit s,t Element
> [mm]\IR[/mm] sowie die Punkte P(2/0/1) und Q(4/2/0) gegeben.
>  
> a) Stellen sie eine Gleichung der Ebene E, die die Punkte
> A, [mm]B_{1}[/mm] und [mm]C_{1}[/mm] enthält, in Parameterdarstellung auf.
>  
> b) Im Punkt P befindet sich eine Punktförmige Lichtquelle.
> Ein Laserstrahl verläuft von dort durch den Punkt Q und
> trifft dann in einem Punkt R auf die Ebene E. Bestimme die
> Koordinaten des Punktes R.
>  
> c) Alle Punkte [mm]B_{t}[/mm] mit t Element [mm]\IR[/mm] liegen auf einer
> Geraden g und alle Punkte [mm]C_{s}[/mm] mit s Element [mm]\IR[/mm] auf einer
> Geraden h. Bestimmen sie jeweils eine Gleichung für g und
> h und zeigen sie, dass die Geraden g und h windschief
> zueinander verlaufen.
>
> d) Bestimme s Element [mm]\IR[/mm] so, dass der Abstand d der Punkte
> [mm]C_{s}[/mm] zum Koordinatenursprung 7 LE beträgt.
>  Die Aufgabe sollten wir als Übung zur Klausur bearbeiten,
> allerdings haben wird sowas bislang noch nicht gemacht.
> Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!


Stelle zunächst die Ebenengleichung auf.

Eine Ebene durch 3 Punkte A,B,C , welche nicht auf
einer Geraden liegen, ist gegeben durch:

[mm]E:\overrrightarrow{x}=\overrrightarrow{OA}+\alpha*\overrrightarrow{AB}+\beta*\overrrightarrow{AC}[/mm]

,wobei

[mm]\overrrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt  A,

[mm]\overrrightarrow{AB}[/mm] die Differenz der Ortsvektoren zum Punkt B
und zum Punkt A ist,

[mm]\overrrightarrow{AC}[/mm] die Differenz der Ortsvektoren zum Punkt C
und zum Punkt A ist.

In b) stellst  Du zunächst die Gerade durch die Punkte P und Q auf,
und schneidest diese dann mit der Ebene E.


>  
> LG


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Als Ebene E hab ich jetzt [mm] E:x=\vektor{2 \\2 \\-4}+\lambda\vektor{2 \\-1 \\2}+\mu\vektor{-1 \\ 0 \\-2}. [/mm]

Die Gerade g durch die Punkte P und Q hat die Gleichung [mm] g:x=\vektor{2 \\ 0 \\1}+\nu\vektor{2 \\ 2 \\-1}. [/mm]

Wenn ich jetzt den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene haben will, kann ich doch einfach E und g gleichsetzen und dann als LGS lösen, oder?

Bezug
                        
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Do 17.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,

> Als Ebene E hab ich jetzt [mm]E:x=\vektor{2 \\2 \\-4}+\lambda\vektor{2 \\-1 \\2}+\mu\vektor{-1 \\ 0 \\-2}.[/mm]


[ok]


>  
> Die Gerade g durch die Punkte P und Q hat die Gleichung
> [mm]g:x=\vektor{2 \\ 0 \\1}+\nu\vektor{2 \\ 2 \\-1}.[/mm]


[ok]


>  
> Wenn ich jetzt den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene
> haben will, kann ich doch einfach E und g gleichsetzen und
> dann als LGS lösen, oder?


Ja, das kannst Du machen.

Einfacher gehts, wenn Du einen Normalenform
der Ebene E bestimmst, die Gerade einsetzt
und die entstehende Gleichung löst.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Super, danke!!
Kann mir jetzt noch jemand bei c und d helfen?

Bezug
                                        
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Do 17.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,.

> Super, danke!!
> Kann mir jetzt noch jemand bei c und d helfen?

Bei c) stellst Du die Gerade g und h auf, und zeigst dann,
daß diese Geraden g und h keinen Schnittpunkt haben.

Bei d) ist der euklidische Abstand des Punktes [mm]C_{s}[/mm]
zum Ursprung gemeint. Bestimme daraus die Wert für s.


Gruss
MathePower

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Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 17.03.2011
Autor: Amicus

Also erstmal zu c):
Soll ich mit den allgemeinen Punkten [mm] B_{t} [/mm] und [mm] C_{s} [/mm] rechnen oder für die Variablen t und s Zahlen einsetzen?

Bezug
                                                        
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Do 17.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus.

> Also erstmal zu c):
>  Soll ich mit den allgemeinen Punkten [mm]B_{t}[/mm] und [mm]C_{s}[/mm]
> rechnen oder für die Variablen t und s Zahlen einsetzen?


Rechne mit den allgemeinen Punkten.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Fr 18.03.2011
Autor: Amicus

Für alle Punkte von B hab ich jetzt die Gleichung [mm] g:x=\vektor{4 \\t_{1} \\-2}+\lambda\vektor{0 \\t_{2}-t_{1} \\0}. [/mm] Für alle Punkte von C die Gleichung [mm] h:x=\vektor{s_{1} \\2 \\-6}+\lambda\vektor{s_{2}-s_{1} \\0 \\0}. [/mm] Was kann ich damit jetzt anfangen?

Bezug
                                                                        
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:41 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,


> Für alle Punkte von B hab ich jetzt die Gleichung
> [mm]g:x=\vektor{4 \\t_{1} \\-2}+\lambda\vektor{0 \\t_{2}-t_{1} \\0}.[/mm]
> Für alle Punkte von C die Gleichung [mm]h:x=\vektor{s_{1} \\2 \\-6}+\lambda\vektor{s_{2}-s_{1} \\0 \\0}.[/mm]
> Was kann ich damit jetzt anfangen?


Zeige jetzt, daß die beiden Geraden windschief zueinander sind,
d.h. keinen Schnittpunkt besitzen.


Gruss
MathePower

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Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Sa 19.03.2011
Autor: Amicus

Wenn ich g und h gleichsetze und dann umforme, kann ich ja ein LGS aufmachen, was da lautet:

[mm] -\mu s_{2}+\mu s_{1}=s_{1}-4 [/mm]
[mm] \lambda t_{2}-\lambda t_{1}=2-t_{1} [/mm]
0=-8

Da 0=-8 falsch ist, verlaufen die beiden Geraden windschief zueinander, ist das damit bewiesen?

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Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,

> Wenn ich g und h gleichsetze und dann umforme, kann ich ja
> ein LGS aufmachen, was da lautet:
>  
> [mm]-\mu s_{2}+\mu s_{1}=s_{1}-4[/mm]
>  [mm]\lambda t_{2}-\lambda t_{1}=2-t_{1}[/mm]
>  0=-8
>  
> Da 0=-8 falsch ist, verlaufen die beiden Geraden windschief
> zueinander, ist das damit bewiesen?


Ja.

Ich seh grad, das das einfacher geht, wenn Du nämlich
nur die z-Koordinate betrachtest, dann siehst Du sofort,
dass sich die beiden Geraden nicht schneiden.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
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Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 Sa 19.03.2011
Autor: Amicus

Schön, nun noch Aufgabenteil d :)

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Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,

> Schön, nun noch Aufgabenteil d :)


Nun, die Formel für den Abstand zweier Punkte  sollte bekannt sein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Sa 19.03.2011
Autor: Amicus

Einach zweimal Satz des Pythagoras anwenden, weils dreidimensional ist, oder gibts da noch ne andere Möglichkeit? Das haben wir im ksrthesischen Koordinatensystem noch nicht gemacht!

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Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,.

> Einach zweimal Satz des Pythagoras anwenden, weils
> dreidimensional ist, oder gibts da noch ne andere
> Möglichkeit? Das haben wir im ksrthesischen
> Koordinatensystem noch nicht gemacht!


Nimm einfach den Betrag des Ortsvektors zum Punkt [mm]C_{s}[/mm].


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Sa 19.03.2011
Autor: Amicus

Der Betrag wär ja dann (s/2/6). Ich weiß nun immernoch nicht wirklich was ich damit anfangen soll.

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Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,

> Der Betrag wär ja dann (s/2/6). Ich weiß nun immernoch
> nicht wirklich was ich damit anfangen soll.


Nein, das ist  nicht der Betrag des Vektors [mm]C_{s}[/mm]

Der Betrag eines Vektor ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt
dieses Vektors mit sich selbst.

Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Sa 19.03.2011
Autor: Amicus

Könntest du den Betrag bei dem Punkt mal konkret aufschreiben, weil mit der Definition kann ich leider nicht so wirklich was anfangen.

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Punkte im kart. Koordinatensys: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Sa 19.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Amicus,

> Könntest du den Betrag bei dem Punkt mal konkret
> aufschreiben, weil mit der Definition kann ich leider nicht
> so wirklich was anfangen.


Es ist:

[mm]\vmat{\overrightarrow{OC_{s}}}=\wurzel{\overrightarrow{OC_{s}} \* \overrightarrow{OC_{s}}}[/mm]

, wobei "[mm]\*[/mm]" das Skalarprodukt
und [mm]\overrightarrow{OC_{s}}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt [mm]C_{s}[/mm] ist.

Kurz gesagt:

Erhebe alles Komponenten des Punktes [mm]C_{s}[/mm] in die zweite Potenz,
summiere dann diese quadrierten Komponenten und ziehe die Wurzel daraus.

Gruss
MathePower

Bezug
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