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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Di 14.06.2005 | | Autor: | mathejoker |
Guten Abend, ich habe da eine Frage an euch und zwar:
Geben Sie alle inneren Punkte, alle isolierten Punkte, sowie alle Häufungspunkte der folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] bzw von [mm] \IC [/mm] an.
a) [mm] \IQ \cap [/mm] ]0, 1[ [mm] \subset \IR,
[/mm]
b) [mm] \IZ \subset \IR
[/mm]
c) [mm] \{\bruch{1}{1+x²} | x \in [-1, 1] \} \subset \IC
[/mm]
d) [mm] \{ \bruch{1}{1+x²} | x \in \IR \backslash \{0 \} \} \subset \IR
[/mm]
Entscheiden sie auch, welche Teilmengen offen, abgeschlossen bzw kompakt ist.
Also ich habe mir folgendes überlegt, und ich hoffe, dass ich es einigermaßen verstanden habe.
a) Wir haben ja einmal die rationalen Zahlen und das Intervall ]0, 1[
Alle Zahlen a mit 0<a<1 sind innere Punkte, es gibt keine isolierten Punkte und die Häufungspunkte b liegen in 0<b<1. Weil durch die rationalen Zahlen, bekomme ich ja auch Zahlen vom Intervall ]0,1[ und dadurch sind sie dann Häufungspunkte.
b) da sind alle Zahlen innere Punkte, es gibt keine isolierten Punkte und auch keine Häufungspunkte. Weil jede Zahl kommt ja nur einmal vor.
Hmm, also ich glaube ich mache es mir da zu einfach. Oder stimmen meine Ansätze von a) und b)?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht verstehe ich das doch nicht so ganz.
Es grüßt mathejoker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mi 15.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> a) [mm]\IQ \cap[/mm] ]0, 1[ [mm]\subset \IR,[/mm]
>
> b) [mm]\IZ \subset \IR[/mm]
>
> c) [mm]\{\bruch{1}{1+x²} | x \in [-1, 1] \} \subset \IC[/mm]
Stetiges Bild eines kompakten Intervalls ... was heisst das also? Gibt es innere Punkte?
> d) [mm]\{ \bruch{1}{1+x²} | x \in \IR \backslash \{0 \} \} \subset \IR[/mm]
Welcher Punkt fehlt? Was ist das dann fuer ein Punkt? Wohin bildet die Abbildung ab?
> Entscheiden sie auch, welche Teilmengen offen,
> abgeschlossen bzw kompakt ist.
>
> Also ich habe mir folgendes überlegt, und ich hoffe, dass
> ich es einigermaßen verstanden habe.
>
> a) Wir haben ja einmal die rationalen Zahlen und das
> Intervall ]0, 1[
> Alle Zahlen a mit 0<a<1 sind innere Punkte, es gibt keine
Nein, die Menge hat keine innere Punkte, denn das wuede bedeuten, dass es um solche Punkte eine offene Umgebung gibt, die ganz drin liegt, das ist aber offenbar falsch. (warum?)
> isolierten Punkte und die Häufungspunkte b liegen in 0<b<1.
> Weil durch die rationalen Zahlen, bekomme ich ja auch
> Zahlen vom Intervall ]0,1[ und dadurch sind sie dann
> Häufungspunkte.
Was heisst bekommen? Gibt es isolierte Punkte? (Antwort: nein.)
> b) da sind alle Zahlen innere Punkte, es gibt keine
Nein, sicher nicht.
> isolierten Punkte und auch keine Häufungspunkte. Weil jede
> Zahl kommt ja nur einmal vor.
Bei obiger Menge kommt auch jede Zahl nur einmal vor - aber warum gibt es keine Haeufungspunkte? Es gibt sehr wohl isolierte Punkte - das sind naemlich alle(!).
> Hmm, also ich glaube ich mache es mir da zu einfach. Oder
> stimmen meine Ansätze von a) und b)?
Leider ueberhaupt nicht. Wie habt ihr den Haeufungspunkt, isolierter Punkt und innerer Punkt definier? Schreibe das doch bitte hierein, und versuche an der Definition (oder Aequivalenten Saetzen), deine Aussagen zu beweisen.
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar, vielleicht verstehe ich
> das doch nicht so ganz.
Das wird schon, habe egrade weniger Zeit, schaue heut abend niochmal rein, also wenn du was geschrieben hast ...
SEcki
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Guten Tag.
Oh, da lag ich ja komplett daneben. Danke für deine Antwort.
Also ich habe nochmal nachgeschaut und wir haben das wie folgt definiert.
Es sei A eine Teilmenge reeler(komplexer) Zahlen.
Isolierter Punkt: Ein Punkt a [mm] \in [/mm] A heißt isoliert, wenn es eine Umgebung [mm] B_{\varepsilon}(a), \varepsilon [/mm] > 0 von a gibt mit [mm] B_{\varepsilon}(a) \cap [/mm] A = [mm] \{a\}
[/mm]
Innerer Punkt: Gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_{\varepsilon}(a) \subseteq [/mm] A, so nennt man a einen inneren Punkt von A.
Häufungspunkt: Eine reele(komplexe) Zahl z heißt Häufungspunkt von A, wenn in jeder Umgebung [mm] B_{\varepsilon}(z) [/mm] ein Punkt a [mm] \in [/mm] A mit a [mm] \not= [/mm] z liegt.
Nun probiere ich es nochmal.
Also bei der a) habe ich ja die rationalen Zahlen [mm] \bruch{a}{b} [/mm] und das Intervall ]0,1[.
Es müssten doch alle Punkte Häufungspunkte sein. Weil in der Umgebung von den Punkten liegen ja auch noch weitere Punkte. Es muss also jeder Punkt Häufungspunkt sein.
Innere Punkte: Es müssten doch auch alle Punkte innere Punkte sein. Denn wenn ich nen Punkt a habe dann ist doch auch die Umgebung von dem Punkt ne Teilmenge von A oder?
Isolierte Punkte: Gibt es keine, weil wenn jeder Punkt Häufungspunkt ist, dann kann es keine isolierten Punkte geben.
Die Menge ist offen und auch geschlossen, laut meinen aussagen... Aber das kann ja nicht sein. Hmm. Aber die inneren und Häufugspunkte stimmen doch oder?
b)
Da haben wir keine Häufungspunkte, da in der Umgebung von einem Punkt kein Anderer liegt.
Somit sind alle Punkte isolierte Punkte.
Und damit gibt es auch keine inneren Punkte. Weil eben in der Umgebung keine anderen Punkte liegen und somit geht das nicht, dass es eine Teilmenge sein kann.
Hmm da weiß ich nicht was die Menge ist. Offen ist sie nicht, geschlossen auch nicht und kompakt ebensowenig. Hmm.
c)
Hier würde ich sagen, dass alle Punkte Häufungspunkte sind. Denn das x stammt ja aus dem Intervall [-1,1] und da liegen in der Umgebung noch weitere Punkte.
Isolierte Punkte gibt es keine.
Und jeder Punkt ist auch innerer Punkt. Weil jeder Punkt ist Häufungspunkt und somit liegen in der Umgebung auch noch andere Punkte und dann sind diese Teilmenge von A.
Dadurch ist die Menge eine offene Menge.
d)
Bei der Mege darf x ja nicht 0 sein. Wenn dem so wäre, wäre das Ergebnis 1. Aber die Punkte können sich ja 1 annähern. Also ist jeder Punkt Häufungspunkt, es gibt keine isolierte Punkte. und jeder Punkt ist innerer Punkt.
Dadruch ist die Menge offen.
So, ich hoffe diesmal liege ich besser. :)
Wäre klasse, wenn du was dazu schreiben könntest.
Es grüßt Mathejoker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mi 15.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Nun probiere ich es nochmal.
> Also bei der a) habe ich ja die rationalen Zahlen
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] und das Intervall ]0,1[.
> Es müssten doch alle Punkte Häufungspunkte sein. Weil in
> der Umgebung von den Punkten liegen ja auch noch weitere
> Punkte.
> Es muss also jeder Punkt Häufungspunkt sein.
Was sind "alle Punkte"? 5 sicher nicht. Du schneidest hier ja ein Intervall mit den rationalen Zahlen. Und vor allem: warum sind die dann Häufungspunkte? Wenn du zB mit [m]\IZ[/m] schneidest, dann wohl nicht, also ... Wichtig noch: die Def. von Häufungspunkt implizoert nicht, daß der Häufungspunkt in der Menge sein muss.
> Innere Punkte: Es müssten doch auch alle Punkte innere
> Punkte sein. Denn wenn ich nen Punkt a habe dann ist doch
> auch die Umgebung von dem Punkt ne Teilmenge von A oder?
Nein, ist sie nicht. Welche Mächtigkeit hat denn jedes Intervall? Welche hat deine Menge?
> Isolierte Punkte: Gibt es keine, weil wenn jeder Punkt
> Häufungspunkt ist, dann kann es keine isolierten Punkte
> geben.
Also wenn alle Punkte der Menge Häufungspunkte sind, dann hast du damit recht.
> Die Menge ist offen und auch geschlossen, laut meinen
> aussagen... Aber das kann ja nicht sein.
Prinzipiell gibt es Mengen die offen und abgeschlossen sind - aber als Teilemengen der reelen und komplexen Zahlen sind das nur die leere Menge und die ganze Menge. Du hast also gezeigt, daß deine Menge ganz [m]\IR[/m] ist ... Glückwunsch. 
> b)
> Da haben wir keine Häufungspunkte, da in der Umgebung von
> einem Punkt kein Anderer liegt.
> Somit sind alle Punkte isolierte Punkte.
Die implikation ist flasch: es gibt Mengen mit nur isolierten Punkten, die aber einen Häufungspunkt (der nicht in der Menge liegt) haben, zb [m]\{\frac{1}{n}|n\in \IN\}[/m].
> Und damit gibt es auch keine inneren Punkte. Weil eben in
> der Umgebung keine anderen Punkte liegen und somit geht das
> nicht, dass es eine Teilmenge sein kann.
Wenn alle isoliert sind, stimmt das schon quasi ...
> Hmm da weiß ich nicht was die Menge ist. Offen ist sie
> nicht, geschlossen auch nicht und kompakt ebensowenig.
> Hmm.
Sie ist abgeschlossen, was passiert denn für eine konvergente Folge, deren Glieder alle in der Menge sind?
> c)
> Hier würde ich sagen, dass alle Punkte Häufungspunkte sind.
Wieder: "alle"? Alle komplexen Zahlen?
> Denn das x stammt ja aus dem Intervall [-1,1] und da liegen
> in der Umgebung noch weitere Punkte.
Das hat doch mit dem Urbild nicht zu viel zu tun - du könntest ja auch die konstante Abb. betrachten.
> Isolierte Punkte gibt es keine.
Das sit richtig, aber warum? (Hattet ihr Zusammenhang schon?)
> Und jeder Punkt ist auch innerer Punkt.
Jeder? Jeder Punkt des Bilds? Nein, als stetiges Bild einer kompakten Meneg ist sie weider kompakt.
> Weil jeder Punkt
> ist Häufungspunkt und somit liegen in der Umgebung auch
> noch andere Punkte und dann sind diese Teilmenge von A.
> Dadurch ist die Menge eine offene Menge.
Nein, das ist sie sicher nicht. Im Übrigen: jeder innere Punkt ist Häufungspunkt, aber nicht andersherum.
> d)
> Bei der Mege darf x ja nicht 0 sein. Wenn dem so wäre,
> wäre das Ergebnis 1. Aber die Punkte können sich ja 1
> annähern.
Also ist 1 was? Was ist mit 0? Was mit den Punkten dazwischen? Gib die Menge ganz konkret an!
> Dadruch ist die Menge offen.
Auch wenn das Ergebnis stimmt, so ist der Weg wohl nicht richtig.
> So, ich hoffe diesmal liege ich besser. :)
Besser ja, aber geh da nochmal drüber, das wird schon! 
SEcki
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