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Hallo,
die Bedingung für Punktsymmetrie lautet ja: f(-x)=-f(x)
Angeblich soll man daraus ableiten können, daß gilt:
1. Kommen in Zähler und Nenner nur GERADE Exponenten vor
liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
2. Kommen in Zähler und Nenner nur UNGERADE Exponenten vor
liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
3. Kommen in Zähler nur GERADE Exponenten vor und im Nenner nur UNGERADE, so liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
4. Kommen in Zähler nur UNGERADE Exponenten vor und im Nenner nur GERADE, so liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Wie kann man das beweisen? Ein Buchtip (auch ganz alte Bücher) würde auch helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 So 02.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ahnungsloser,
willkommen im MatheRaum! 
> die Bedingung für Punktsymmetrie lautet ja: f(-x)=-f(x)
>
> Angeblich soll man daraus ableiten können, daß gilt:
Daraus und natürlich aus der Bedinung für die Achsensymmetrie (zur y-Achse): f(-x)=f(x)
> 1. Kommen in Zähler und Nenner nur GERADE Exponenten vor
> liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
Es reicht hier, zunächst nur die Symmetrien von Zähler und Nenner zu betrachten.
Zähler und Nenner sind ja Polynom(funktionen), und für diese gelten ja ganz ähnliche Symmetrie-Sätze:
Polynom ist achsensymmetrisch zur y-Achse, genau dann wenn das Polynom nur gerade Exponenten besitzt.
Polynom ist punktsymmetrisch zum Ursprung, genau dann wenn das Polynom nur ungerade Exponenten besitzt.
Diese Sätze sind dir wahrscheinlich bekannt, aber ich beweise sie auch noch gerne, wenn du nachfragst.
Eine gebrochen-rationale Funktion $r$ ist nun ein Quotient aus zwei Polynomfunktionen $z, n$:
[mm] $r(x)=\bruch{z(x)}{n(x)}$
[/mm]
Wir wissen nun, dass im Zähler und Nenner nur gerade Exponenten vorkommen, daraus folgt doch schon mal sofort die Achsensymmetrie von Zähler und Nenner bzw. formaler:
$z(-x)=z(x)$ und $n(-x)=n(x)$ (*)
Untersuchen wir nun, was sich für $r(-x)$ ergibt:
[mm] $r(-x)=\bruch{z(-x)}{n(-x)}\stackrel{(\*)}{=}\bruch{z(x)}{n(x)}=r(x)$
[/mm]
Das ist gerade die Bedingung für die Achsensymmetrie (zur y-Achse) von $r$!
> 2. Kommen in Zähler und Nenner nur UNGERADE Exponenten
> vor
> liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
Das geht genauso, versuch' es mal selbst, dann hast du es schnell verinnerlicht.
> 3. Kommen in Zähler nur GERADE Exponenten vor und im Nenner
> nur UNGERADE, so liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Ebenso.
> 4. Kommen in Zähler nur UNGERADE Exponenten vor und im
> Nenner nur GERADE, so liegt Punktsymmetrie zum Ursprung
> vor.
Auch mal selbst probieren, wir korrieren es auch gerne oder beantworten weitere Fragen hierzu.
Viel Erfolg,
Marc
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Anwort.
Gut das das Forum anonym ist, sonst müßte ich mich jetzt schämen, daß ich auf so eine einfache Beweisidee nicht gekommen bin ...
Hab den Beweis in keinen meiner vielen Bücher gefunden, nur hier. Tolle Sache euer Forum! Ich hab leider noch keine Flatrate, sonst würde ich auch helfen (wo ich kann).
Herzlichen Dank nochmal!
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