Punktw. Gleichm. Konvergenz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von Funktionen [mm] f_n:[0,1]\to\IC.
[/mm]
Konvergiere [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion [mm] f:[0,1]\to\IC [/mm] und konvergiere [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] punktweise gegen [mm] g:[0,1]\to\IC.
[/mm]
Ist dann $f=g$? |
Gleichmäßige Konvergenz ist eine stärkere Aussage als punktweise Konvergenz. Damit sind gleichmäßig Konvergente Folgen von Funktionen auch punktweise Konvergent, aber nicht umgekehrt.
Also kann die Behauptung $f=g$ doch gar nicht stimmen, oder?
Ich hoffe ich mache es mir nicht zu einfach damit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo dr_geissler,
> Gleichmäßige Konvergenz ist eine stärkere Aussage als
> punktweise Konvergenz.
Richtig!
Die Frage ist hier, ob [mm](f_n)[/mm] gegen eine Funktion gleichmäßig und gegen eine andere Funktion punktweise konvergieren kann.
> Also kann die Behauptung [mm]f=g[/mm] doch gar nicht stimmen, oder?
Doch! Wenn die Antwort auf die Frage nein ist.
>
> Ich hoffe ich mache es mir nicht zu einfach damit.
Die Hoffnung muß ich leider enttäuschen.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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> Hallo dr_geissler,
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> > Gleichmäßige Konvergenz ist eine stärkere Aussage als
> > punktweise Konvergenz.
> Richtig!
>
> Die Frage ist hier, ob [mm](f_n)[/mm] gegen eine Funktion
> gleichmäßig und gegen eine andere Funktion punktweise
> konvergieren kann.
>
> > Also kann die Behauptung [mm]f=g[/mm] doch gar nicht stimmen, oder?
> Doch! Wenn die Antwort auf die Frage nein ist.
Ich muss da nochmal nachfragen.
Also wenn [mm](f_n)[/mm] NICHT gleichzeitig gegen eine Funktion gleichmäßig und gegen eine andere Funktion punktweise konvergieren kann, ist $f=g$ ??
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> >
> > Ich hoffe ich mache es mir nicht zu einfach damit.
>
> Die Hoffnung muß ich leider enttäuschen.
>
> Viel Erfolg,
> Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
> Also wenn [mm](f_n)[/mm] NICHT gleichzeitig gegen eine Funktion
> gleichmäßig und gegen eine andere Funktion punktweise
> konvergieren kann, ist [mm]f=g[/mm] ??
Nein. Nicht NICHT  . Dein Satz ist richtig, wenn Du das NICHT weglässt.
Die Funktionenfolge konvergiert doch gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] und punktweise gegen [mm]g[/mm]. Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?
Grüße,
Wolfgang
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Nein, dass hast Du nicht falsch verstanden.
Die Aufgabe lautet aber, dass man entweder beweisen soll, dass unter den o.a. Voraussetzungen der Aufgabe $f=g$ ist, oder diese Aussage durch ein Gegenbeispiel widerlegen soll.
Da es ja der Fall ist, dass man das beweisen kann, muss ich mir mal meine Gedanken machen, wie ich das anstelle.
Hast Du da einen Tipp für mich?
Ich finde es im Moment schwer vorzustellen, dass das überhaupt geht. Ich verstehe nicht, wie zwei Funktionen gleich sein sollen, wenn die eine gleichmäßig konvergiert und die andere nicht. Klingt für mich eher ungleich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Du musst zwischen Funktionenfolge, also [m](f_n)[/m], und Funktionen, hier also [m]f[/m] und [m]g[/m], unterscheiden. Dabei ist völlig belanglos, dass die Funktion [m]f[/m] so ähnlich heißt wie die Glieder der Funktionenfolge. Nennen wir daher lieber die Funktion [m]f[/m] um in die Funktion [m]h[/m]. Nach Voraussetzung konvergiert die Folge gleichmäßig gegen [m]h[/m] und punktweise gegen [m]g[/m]. Und ich behaupte mal, dass dann die beiden Funktionen [m]h[/m] und [m]g[/m] gleich sein müssen. Dies müsstest Du zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Ich glaube, dies ist eher ein sprachliches Problem. Zwei Funktionen können in der Alltagssprache gar nicht gleich sein, denn dann wären es ja nicht zwei! Aber in unserem Jargon hat sich da eine sprachliche Ungenauigkeit eingeschliffen. Wenn man von zwei Funktionen [m]f[/m] und [m]g[/m] spricht, so schließt dies auch ein, dass [m]f[/m] und [m]g[/m] nur zwei Namen ein und derselben Funktion sind.
In dem Sinn ist unsere Behauptung zu verstehen:
Konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig gegen [m]f[/m] und punktweise gegen [m]g[/m], so ist [m]f[/m]=[m]g[/m].
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Dasheißt doch aber auch, dass [mm] (f_n)_{n\in\N} [/mm] nicht nur punktweise gegen g sondern auch gleichmäßig gegen g konvergiert, oder? Sonst können f und g nicht gleich sein, oder?
Ich versteh schon den Unterschied einer Folge von Funktionen [mm] (f_n) [/mm] und Funktionen. Ich weiß auch, dass ein und die gleiche Sache (hier zwei Folgen) zwei Namen haben kann (Wie Boxen und Lautsprecher). Aber Ich versteh nicht, wie ein und das gleiche zwei verschiedene eigenschaften haben kann. Verstehst Du mein Problem?
Und solange ich das nicht verstehe, kann ich das auch nicht beweisen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Ein und dasselbe Ding kann durchaus zwei Eigenschaften haben: So ist 2 eine natürliche Zahl und gleichzeitig eine gerade Zahl.
Genauso kann ein und dieselbe Funktion sowohl punktweiser als auch gleichmäßiger Grenzwert einer Funktionenfolge sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 04.09.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Also wenn $ [mm] (f_n) [/mm] $ NICHT gleichzeitig gegen eine Funktion gleichmäßig und gegen eine andere Funktion punktweise konvergieren kann, ist $ f=g $ ??
Ja das stimmt. Betonung liegt auf "andere".
Also, Annahme, gebe es x mit [mm] $f(x)\neq [/mm] g(x)$, was passiert dann mit [mm] $f_n(x)$?
[/mm]
ciao
Stefan
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