Punktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben: [mm] y(x,\varepsilon)' [/mm] = [mm] \begin{cases} \Phi(x)' & \mbox{für } a
[mm] x\in (a,b)\subset \IR
[/mm]
[mm] \varepsilon, \psi, \omega, c\in\IR
[/mm]
[mm] 0\le\varepsilon<\psi-c
[mm] \Phi(c)'\not= \omega
[/mm]
Zeige: Die Aussage [mm] \limes_{\varepsilon \rightarrow 0+}|y(x,\varepsilon)' [/mm] - [mm] \Phi(x)'| [/mm] = 0 für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] ist falsch. ( [mm] \limes_{\varepsilon \rightarrow 0+} [/mm] soll heißen: rechter Grenzwert an 0). |
Moin,
meine Gedanken dazu: es liegt an dem Punkt x= [mm] \limes_{\varepsilon \rightarrow c+}\varepsilon [/mm] (rechtsseitiger Grenzwert an c). Das ist nämlich der einzige Punkt bei dem [mm] y(x,\varepsilon) [/mm] unabhängig von [mm] \varepsilon [/mm] ist. Aber wie sieht eigentlich [mm] \limes_{\varepsilon \rightarrow 0+} y(x,\varepsilon)' [/mm] aus?
So? [mm] \limes_{\varepsilon \rightarrow 0+} y(x,\varepsilon)' [/mm] = [mm] \begin{cases} \Phi(x)' & \mbox{für } a
Ich habe irgendwie Probleme mit der Formulierung der Aufgabenstellung. Hat das hier was mit punktweiser oder gleichmäßiger Konvergenz zu tun? Ich formulier mal um: Wenn ich anstatt [mm] y(x,\varepsilon)' [/mm] folgende Funktionenfolge betrachte:
[mm] y_n(x)':=\begin{cases} \Phi(x)' & \mbox{für } a
[mm] x\in (a,b)\subset \IR
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}, \psi, \omega, c\in\IR
[/mm]
[mm] 0\le\bruch{1}{n}<\psi-c
[mm] \Phi(c)'\not= \omega
[/mm]
jetzt zu zeigen, dass [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}|y_n(x)' [/mm] - [mm] \Phi(x)'| [/mm] = 0 für alle [mm] x\in [/mm] [a,b] NICHT gilt, ist ja eigentlich das selbe Problem. Aber um was geht es hier dann eigentlich? Um punktweise Konvergenz oder um gleichmäßige Konvergenz?
Grüße und guten Rutsch
kullinarisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 05.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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