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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:47 Do 28.09.2023 | | Autor: | Jellal |
Tag zusammen,
ich lese gerade ein Buch ueber statistische Mechanik ("Free energy computations - a mathematical perspective").
Wir betrachten ein System mit Ortskoordinaten [mm] q\in \mathcal{D}\subset\IR^{3N} [/mm] und Geschwindigkeiten [mm] p\in \IR^{3N}. [/mm] 3N steht fuer 3 Dimensionen und N Teilchen.
Im "kanonischen Ensemble" sind dies Zufallsvariablen mit Verteilung
[mm] \mu(dqdp)=\frac{1}{Z_{\mu}}e^{-H(q,p)}dqdp, [/mm] mit skalarer Hamilton-Funktion H (dies ist die Gesamtenergie des Systems) und Normalisierungskonstante [mm] Z_{\mu}.
[/mm]
Da die Dimensionalitaet 3N haeufig zu groß ist, um praktische Fragestellungen anzugehen, fuehrt man sogenannte Reaktionskoordinaten [mm] \xi: \mathcal{D} \to \IR^{m} [/mm] with m<<3N ein und beschreibt das System in dieser reduzierten Form.
Die Level-Mengen von [mm] \xi [/mm] seien [mm] \Sigma(z)=\{q\in \mathcal{D}| \xi(q)=z\} [/mm] und es gelte [mm] \mathcal{D}=\bigcup_{z}\Sigma(z),
[/mm]
[mm] \Sigma(z_1)\not=\Sigma(z_2) [/mm] for [mm] z_1\not=z_2, [/mm] und [mm] \Sigma(z) [/mm] ist einfach zusammenhaengend.
Im Buch wird nun gesagt, dass die Verteilung von [mm] \xi [/mm] gegeben ist durch
[mm] \mu^{\xi}(dz)=\Big( \frac{1}{Z_\mu} \integral_{\Sigma(z)\times \IR^{3N}} e^{-H(q,p)}\delta_{\xi(q)-z}(dq)dp \Big) [/mm] dz, wobei
[mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq):=\frac{\sigma_{\Sigma(z)}(dq)}{|\nabla \xi{q}|} [/mm] mit [mm] \sigma_{\Sigma(z)}(dq) [/mm] dem Flaechenmaß, das vom Lebesgue Maß auf der Submanifold [mm] \Sigma(z) [/mm] induziert wird (bin nicht so sicher mit dieser Begrifflichkeit).
Ferner wird gesagt, dass [mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq)dz [/mm] = dq, und dass [mm] \mu^{\xi} [/mm] einfach das Bildmaß von [mm] \mu [/mm] unter [mm] \xi [/mm] ist.
Mir ist nicht ganz klar, wie man auf den Ausdruck fuer [mm] \mu^{\xi} [/mm] kommt. Intuitiv macht der Ausdruck Sinn. Das [mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq) [/mm] in dem Integral erinnert etwas an die Dirac-Delta-Funktion: Um die Dichte von [mm] \xi [/mm] an der Stelle z zu bekommen, muss ich saemtliche Wahrscheinlichkeit von q,p aufsummieren, fuer die [mm] \xi(q)=z [/mm] gilt.
Rigoros mathematisch verstehe ich es aber nicht so ganz.
Das "Bild-Maß" scheint das gleiche zu sein, wie das "Push-Forward" Maß. Laut der Wikipedia-Definition ![[]](/images/popup.gif) https://en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_measure, muesste aber erst mal gelten:
Sei Z eine Borelmenge in [mm] \IR^{m}. [/mm] Dann ist das Push-Forward-Maß gegeben durch
[mm] \mu^{\xi}(Z):=\mu(\xi^{-1}(Z))=\frac{1}{Z_\mu}\integral_{\xi^{-1}(Z)\times \IR^{3N}}{e^{-H(q,p)}dqdp} [/mm] (streng genommen muesste man [mm] \xi [/mm] dafuer wohl eher definierten als Funktion auf [mm] \mathcal{D}\times \IR^{3N}).
[/mm]
Wie komme ich von hier nun auf die Darstellung von [mm] \mu^{\xi} [/mm] weiter oben?
VG.
Jellal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 01.10.2023 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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