Pyramidenstumpf < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 13.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es geht hier um die Herleitung der Volumenformel zur Berechnung eines Kegels...
zu zeigen: [mm] V_{Pyramidenstumpf} [/mm] = [mm] \bruch{h}{3}*(G_{1}^2 [/mm] + [mm] G_{1}*G_{2} [/mm] + [mm] G_{2}^2) [/mm] |
Moin,
komme hier nicht weiter...
folgende Formeln standen an der Tafel (hoffentlich richtig):
V = [mm] \bruch{h}{3}*\bruch{1}{\wurzel{G_{1}}*\wurzel{a_2}}*(G_{1}*\wurzel{G_{1}} [/mm] - [mm] G_{2}*\wurzel{a_{2}}) [/mm]
Ich denke allerdings, dass es statt [mm] \wurzel{a_{2}} [/mm] heissen müsste
[mm] \wurzel{G_{2}} [/mm] ?!
Also:
V = [mm] \bruch{h}{3}*\bruch{1}{\wurzel{G_{1}}*\wurzel{G_2}}*(G_{1}*\wurzel{G_{1}} [/mm] - [mm] G_{2}*\wurzel{G_{2}}) [/mm]
V = [mm] \bruch{h}{3}*\bruch{1}{G_{1}^{1/2}*G_{2}^{1/2}}*(G_{1}*G_{1}^{1/2} [/mm] - [mm] G_{2}*G_{2}^{1/2}) [/mm]
soweit Tafel.
Ich habe mir überlegt:
eine Pyramide mit der Grundfläche [mm] G_{1}, [/mm] dem Volumen [mm] V_{1} [/mm] und der Höhe h
enthält eine Pyramide mit der Grundfläche [mm] G_{2}, [/mm] dem Volumen [mm] G_{2} [/mm] und der Höhe [mm] h_{2}.
[/mm]
Das Volumen des Pyramidenstumpfes errechnet sich aus:
[mm] V_{Pyramidenstumpf} [/mm] = [mm] V_{1} [/mm] - [mm] V_{2} [/mm]
[mm] V_{Pyramidenstumpf} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*G_{1}*h [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*G_{2}*h_{2}
[/mm]
Über den 2. Strahlensatz [nur gültig für eine quadratische Grundfläche, oder?!] erhalte ich den Zusammenhang:
[mm] \bruch{h_{2}}{h} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{G_{2}}}{\wurzel{G_{1}}}
[/mm]
[mm] h_{2} [/mm] = h* [mm] \bruch{\wurzel{G_{2}}}{\wurzel{G_{1}}}
[/mm]
und damit
[mm] V_{Pyramidenstumpf} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*G_{1}*h [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*G_{2}*h*\bruch{\wurzel{G_{2}}}{\wurzel{G_{1}}}
[/mm]
[mm] V_{Pyramidenstumpf} [/mm] = [mm] \bruch{h}{3}*(G_{1} [/mm] - [mm] G_{2}*\bruch{\wurzel{G_{2}}}{\wurzel{G_{1}}})
[/mm]
aber wie geht es jetzt weiter??
Zum Schluss soll die Formel für das Volumen hergeleitet werden!
Danke für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 13.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Die Formel, die du beweisen sollst ist falsch, wenn G die Grundflächen sein sollen.
Man kann das direkt sehen an den Einheiten h: Länge [mm] G:Länge^2 G^2 =Läng^4
[/mm]
damit hätte V die Dimension [mm] Läng*Länge^4=Länge^5. [/mm] Was garantiert falsch ist.
Die richtige Formel ist: [mm] V=h/3*(G1+\wurzel{G1}*\wurzel{G2}+G2) [/mm] wenn G1 die Grundfläche, G2 Die Deckfläche ist. wenn das Quadrate sind kannst du statt G1 natürlich a1 usw schreiben, vielleicht ist das gemeint. dann stimmt die Formel bzw, wenn G1, G2 die Seitenlängen sind.
Dann kannst du deine überlegungen direkt machen.
Nur, wenn h die Höhe des Stumpfes ist, ist dein Strahlensatz falsch: H grosse Pyramide, dann ist Höhe der kleinen, die du abziehst H-h! also hast du H/(H-h)=a1/a2!
Die Formel "an der Tafel" kann auch nicht stimmen, denn auch da Stimmen die Einheiten nicht: im Nenner [mm] L^2 [/mm] im Zähler [mm] L^3 [/mm] zusammen L, und das mal h gibt [mm] L^2 [/mm] und nicht [mm] L^3 [/mm] wie es für ein Volumen sein soll!
Also musst dus doch direkt machen. Deine Ide mit der Differenz der 2 Pyramiden und dem Strahlensatz ist aber richtig. nur wie gesagt mit dem Strahlenatz aufpassen.
Gruss leduart
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