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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mo 12.01.2009 | | Autor: | jansimak |
| Aufgabe | Gegebener Datensatz: 1.5, 2.7, 3.0, 3.5, 5.7
Aufgabe:
1) Berechnen Sie die Quantilfunktion des Datensatzes,
2) skizzieren Sie auch den QQ-Plot für den Vergleich mit einer Par(2,1) Verteilung. |
Hallo zusammen,
mir ist nicht wirklich klar, wie ich diese Aufgabe zu bewerkstelligen habe.
1) Allgemein liefert mir die Quantilfunktion, also die Umkehrfunktion der VF ja für einen Quantilwert [mm] \alpha [/mm] den zugehörigen Wert x für den P(X<=x) = [mm] \alpha.
[/mm]
Heisst das in diesem Fall, dass ich zum gegebenen Datensatz die empirische VF aufstellen muss? In diesem Fall also:
Es gilt für jeden Wert des Datensatz die absolute Häufigkeit = 1 ist (relative Häufigkeit = 1/5)
Sprich, auf der Ordinate die WS von 0 bis 1, auf der Abszisse die Datenwerte und im Koordinatensystem würden die einzelnen Werte dann einfach jeweils um 0,2 nach oben springen?
Achsentausch der VF würde dann die Quantilfunktion ergeben.
2) Wie genau ergibt sich nun hieraus der QQ-Plot? Die VF der Pareto-Verteilung [mm] Par(c,\lambda) [/mm] ist bestimmt durch F(x) = [mm] 1-(\bruch{\lambda}{x})^c, [/mm] also in diesem Fall durch F(x) = [mm] 1-(\bruch{1}{x})^2. [/mm] Als Quantilfunktion muss dann also [mm] 1-(\bruch{1}{x})^2 [/mm] = y aufgelöst werden, sprich F^-1(y) = [mm] \wurzel{\bruch{1}{1-y}}, [/mm] da als WS nur die positive Wurzel in Betracht zu ziehen ist. Kann ich jetzt einfach den vorliegenden Datensatz verwenden? Aber falls es überhaupt bis hierhin richtig sein sollte, weiss ich leider nicht weiter wie ich aus beiden Quantilfunktionen jetzt den QQ-Plot bestimmen kann.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Di 13.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Gegebener Datensatz: 1.5, 2.7, 3.0, 3.5, 5.7
> Aufgabe:
>
> 1) Berechnen Sie die Quantilfunktion des Datensatzes,
> 2) skizzieren Sie auch den QQ-Plot für den Vergleich mit
> einer Par(2,1) Verteilung.
> Hallo zusammen,
> mir ist nicht wirklich klar, wie ich diese Aufgabe zu
> bewerkstelligen habe.
>
> 1) Allgemein liefert mir die Quantilfunktion, also die
> Umkehrfunktion der VF ja für einen Quantilwert [mm]\alpha[/mm] den
> zugehörigen Wert x für den P(X<=x) = [mm]\alpha.[/mm]
>
> Heisst das in diesem Fall, dass ich zum gegebenen Datensatz
> die empirische VF aufstellen muss? In diesem Fall also:
>
> Es gilt für jeden Wert des Datensatz die absolute
> Häufigkeit = 1 ist (relative Häufigkeit = 1/5)
>
> Sprich, auf der Ordinate die WS von 0 bis 1, auf der
> Abszisse die Datenwerte und im Koordinatensystem würden die
> einzelnen Werte dann einfach jeweils um 0,2 nach oben
> springen?
>
> Achsentausch der VF würde dann die Quantilfunktion
> ergeben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bezeichne die emp VF mit [mm] $\hat [/mm] F$. Du zeichnest also das Streudiagramm der Punkte [mm] $(x_i,\hat F^{-1}(x_i))=(x_i,i/n)$.
[/mm]
>
> 2) Wie genau ergibt sich nun hieraus der QQ-Plot? Die VF
> der Pareto-Verteilung [mm]Par(c,\lambda)[/mm] ist bestimmt durch
> F(x) = [mm]1-(\bruch{\lambda}{x})^c,[/mm] also in diesem Fall durch
> F(x) = [mm]1-(\bruch{1}{x})^2.[/mm] Als Quantilfunktion muss dann
> also [mm]1-(\bruch{1}{x})^2[/mm] = y aufgelöst werden, sprich
> F^-1(y) = [mm]\wurzel{\bruch{1}{1-y}},[/mm] da als WS nur die
> positive Wurzel in Betracht zu ziehen ist. Kann ich jetzt
> einfach den vorliegenden Datensatz verwenden? Aber falls es
> überhaupt bis hierhin richtig sein sollte, weiss ich leider
> nicht weiter wie ich aus beiden Quantilfunktionen jetzt den
> QQ-Plot bestimmen kann.
>
Der QQ-Plot ist das Streudiagramm der Punkte [mm] $(x_i,F^{-1}(\hat F^{-1}(x_i)))$. [/mm] Dabei ergibt sich eine kleine, laestige Schwierigkeit. Welche?
vg Luis
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