QR-Verfahren: Eigenvektoren < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mi 04.02.2009 | | Autor: | xyza |
Wie bekommt man mit Hilfe des QR-Verfahrens (zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren) die Eigenvektoren einer Matrix A? Konvergieren da die Einträge der Orthogonalmatrix Q, die man in jedem Schritt berechnet, gegen? Aber wenn ja, warum konvergiert die Matrix Q*AQ dann nicht gegen eine Diagonalmatrix?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
vorweg: deine Fragen halten sich sehr allgemein. Hast Du denn verstanden, wie der QR-Algorithmus vorgeht? Das Problem ist, dass Dir wird hier keiner die gesamte Theorie des QR-Algorithmus erklären wird. Daher wäre es schön, wenn Du Deine Fragen gezielter stellen könntest. Für den Algorithmus siehe z.B. einmal:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/QR-Algorithmus
> Wie bekommt man mit Hilfe des QR-Verfahrens (zur Bestimmung
> von Eigenwerten und Eigenvektoren) die Eigenvektoren einer
> Matrix A?
Die werden vom QR-Algorithmus berechnet. Hast Du den verstanden? Falls nicht, wo harkt es dann?
> Konvergieren da die Einträge der Orthogonalmatrix
> Q, die man in jedem Schritt berechnet, gegen? Aber wenn ja,
> warum konvergiert die Matrix Q*AQ dann nicht gegen eine
> Diagonalmatrix?
Gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:03 Mo 09.02.2009 | | Autor: | xyza |
Hallo, danke erstmal für die Antwort!
Ich kenne den QR-Algorithmus (so wie er auf der von dir verlinkten Seite steht) und auch die Motivation aus dem Verfahren von Mises.
Ich verstehe auch, wieso die Diagonalelente der Matrizenfolge
[mm] A_{k+1}=Q_k^{-1} A_k Q_k [/mm] (in Wikipedia-Notation)
konvergieren.
Nun steht aber überall, dass man mit dem Verfahren auch die Eigenvektoren erhält, und ich wüsste gerne woher.
Ich dachte eigentlich, dass da die Spalten von [mm] Q_k [/mm] gegen konvergieren.
Andererseits weiß ich ja aber, dass sich die Ausgangsmatrix A zerlegen lässt in Q*JQ mit Jordanmatrix J und Matrix Q, deren Spalten die (orthonormalem) Basisvektoren aus Eigenvektoren sind.
Würde [mm] Q_k [/mm] nun tatsächlich gegen Q konvergieren, hätte ich dann nicht auch eine Konvergenz von [mm] A_k [/mm] gegen eine Diagonalmatrix (bzw Jordanmatrix)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 14.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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