Q_8, Erzeugnis folgern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 14.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die Gruppe [mm] Q_8:= [/mm] sei die von den Matrizen
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}und [/mm] B= [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }
[/mm]
erzeugte Untergruppe von [mm] SL_2(\IC). [/mm] Beweisen Sie
[mm] Q_8 [/mm] = [mm] \{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\},j\in \{0,1\}\} [/mm] |
Hallo zusammen,
[mm] M:=\{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\},j\in \{0,1\}\}
[/mm]
-) M [mm] \subseteq Q_8 [/mm]
[mm] Q_8 [/mm] = <A [mm] \cup [/mm] B> [mm] =\{C^{\epsilon_1} D^{\epsilon_2}C^{\epsilon_3} D^{\epsilon_4} .... | C,D \in \{A,B\}, \epsilon_1,\epsilon_2,.. \in \{1,-1\}\}
[/mm]
Da bin ich mir unsicher bei der Schreibweise!!
Aber alle Matrizen in M lassen sich als Elemente von A & B darstellen. Also M [mm] \subseteq Q_8 [/mm]
[mm] -)Q_8 \subseteq [/mm] M
Wenn M Untergruppe von [mm] SL_2(\IC) [/mm] mit A,B [mm] \in [/mm] M
=> [mm] Q_8 \subseteq [/mm] M
Da [mm] Q_8 [/mm] kleinste Untergruppe die A und B enthält.
Also muss ich zeigen:
1) A,B [mm] \in [/mm] M ist klar da [mm] AB^0=A, A^0 [/mm] B=B
2) M [mm] \le SL_2(\IC)
[/mm]
Da M endlich ist, M [mm] \not= \emptyset, [/mm] M [mm] \subseteq SL_2(\IC) [/mm] genüngt die abgeschlossenheit der Elemente in M zuzeigen.
Aber wie mache ich das geschickt?
Mir ist klar:
[mm] M=\{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\},j\in \{0,1\}\} =\{A^0=I_2,A,A^2,A^3,A^0B=B,AB,A^2B=B^3,A^3B=BA\}=\{I_2,A,A^2,A^3,B,B^3,AB,BA\}
[/mm]
wobei ich mit [mm] I_2 [/mm] die 2x2 Einheitsmatrix meine.
Reicht nun nicht zuzeigen: [mm] A*M=\{A*D|D \in M\} \subseteq [/mm] M und [mm] B*M=\{B*D|D \in M\} \subseteq [/mm] M
Hier fehlt mir aber die mathematische Erklärung dazu!!
(**) Aber mir erscheint es logisch wenn AM [mm] \subseteq [/mm] M und BM [mm] \subseteq [/mm] M, dass dann sogar folgt [mm] Q_8 [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M.
(Ich meine hier jeweils immer das Komplexprodukt [mm] X*Y=\{x*y|x\in X, y\in Y\})
[/mm]
[mm] AI_2 [/mm] =A [mm] \in [/mm] M
AA = [mm] A^2 \in [/mm] M
[mm] AA^2 [/mm] = [mm] A^3 \in [/mm] M
[mm] AA^3 [/mm] = [mm] I_2 \in [/mm] M
AB [mm] \in [/mm] M
[mm] AB^3 [/mm] = BA [mm] \in [/mm] M
A(AB) [mm] =A^2 B=B^2 B=B^3 \in [/mm] M
A (BA) [mm] =A(A^3 [/mm] B)=B [mm] \in [/mm] M
[mm] BI_2 [/mm] =B [mm] \in [/mm] M
BA [mm] \in [/mm] M
[mm] BA^2 [/mm] = [mm] B^3 \in [/mm] M
[mm] BA^3 [/mm] =BA [mm] \in [/mm] M
[mm] BB=A^2 \in [/mm] M
[mm] BB^3 [/mm] = [mm] I_2 \in [/mm] M
B(AB) [mm] =A^3 B^2=A \in [/mm] M
B(BA) =AB [mm] \in [/mm] M
Bei (**) ist also mein Problem!
LG,
sissi
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Hi,
> Die Gruppe [mm]Q_8:=[/mm] sei die von den Matrizen
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}und[/mm] B= [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
>
> erzeugte Untergruppe von [mm]SL_2(\IC).[/mm] Beweisen Sie
> [mm]Q_8[/mm] = [mm]\{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\},j\in \{0,1\}\}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> [mm]M:=\{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\},j\in \{0,1\}\}[/mm]
>
> -) M [mm]\subseteq Q_8[/mm]
> [mm]Q_8[/mm] = <A [mm]\cup[/mm] B> [mm]=\{C^{\epsilon_1} D^{\epsilon_2}C^{\epsilon_3} D^{\epsilon_4} .... | C,D \in \{A,B\}, \epsilon_1,\epsilon_2,.. \in \{1,-1\}\}[/mm]
>
> Da bin ich mir unsicher bei der Schreibweise!!
Zu Recht. Eine Vereinigung von Matrizen ist nicht definiert.
> Aber alle Matrizen in M lassen sich als Elemente von A & B
> darstellen. Also M [mm]\subseteq Q_8[/mm]
Was sollen denn Elemente der Matrix A sein?
Aber eigentlich ist hier ja fast nichts zu zeigen.
[mm] $A^iB^j$ [/mm] ist ein Produkt von Potenzen von A und B und damit nach Def. im Erzeugnis.
>
> [mm]-)Q_8 \subseteq[/mm] M
> Wenn M Untergruppe von [mm]SL_2(\IC)[/mm] mit A,B [mm]\in[/mm] M
> => [mm]Q_8 \subseteq[/mm] M
> Da [mm]Q_8[/mm] kleinste Untergruppe die A und B enthält.
>
> Also muss ich zeigen:
> 1) A,B [mm]\in[/mm] M ist klar da [mm]AB^0=A, A^0[/mm] B=B
> 2) M [mm]\le SL_2(\IC)[/mm]
> Da M endlich ist, M [mm]\not= \emptyset,[/mm] M
> [mm]\subseteq SL_2(\IC)[/mm] genüngt die abgeschlossenheit der
> Elemente in M zuzeigen.
Ja.
> Aber wie mache ich das geschickt?
Berechne a, b mit $BA= [mm] A^a B^b$.
[/mm]
Damit lässt dich sehr schnell zeigen, dass [mm] $A^iB^jA^kB^l$ [/mm] von der gewünschten Form ist.
> Mir ist klar:
> [mm]M=\{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\},j\in \{0,1\}\} =\{A^0=I_2,A,A^2,A^3,A^0B=B,AB,A^2B=B^3,A^3B=BA\}=\{I_2,A,A^2,A^3,B,B^3,AB,BA\}[/mm]
>
> wobei ich mit [mm]I_2[/mm] die 2x2 Einheitsmatrix meine.
> Reicht nun nicht zuzeigen: [mm]A*M=\{A*D|D \in M\} \subseteq[/mm] M
> und [mm]B*M=\{B*D|D \in M\} \subseteq[/mm] M
> Hier fehlt mir aber die mathematische Erklärung dazu!!
> (**) Aber mir erscheint es logisch wenn AM [mm]\subseteq[/mm] M und
> BM [mm]\subseteq[/mm] M, dass dann sogar folgt [mm]Q_8[/mm] M [mm]\subseteq[/mm] M.
Das umgangsprachliche "logisch" hat in der Mathematik nicht viel verloren.
Entweder man kann etwas beweisen oder nicht. Man kann vermuten, dass etwas stimmt.
Und ich sehe nicht wie das die Behauptung beweisen soll.
Wie zeigt dass z.B. $A^3B A [mm] \in [/mm] M$ ?
> (Ich meine hier jeweils immer das Komplexprodukt
> [mm]X*Y=\{x*y|x\in X, y\in Y\})[/mm]
>
> [mm]AI_2[/mm] =A [mm]\in[/mm] M
> AA = [mm]A^2 \in[/mm] M
> [mm]AA^2[/mm] = [mm]A^3 \in[/mm] M
> [mm]AA^3[/mm] = [mm]I_2 \in[/mm] M
> AB [mm]\in[/mm] M
> [mm]AB^3[/mm] = BA [mm]\in[/mm] M
> A(AB) [mm]=A^2 B=B^2 B=B^3 \in[/mm] M
> A (BA) [mm]=A(A^3[/mm] B)=B [mm]\in[/mm] M
>
> [mm]BI_2[/mm] =B [mm]\in[/mm] M
> BA [mm]\in[/mm] M
> [mm]BA^2[/mm] = [mm]B^3 \in[/mm] M
> [mm]BA^3[/mm] =BA [mm]\in[/mm] M
> [mm]BB=A^2 \in[/mm] M
> [mm]BB^3[/mm] = [mm]I_2 \in[/mm] M
> B(AB) [mm]=A^3 B^2=A \in[/mm] M
> B(BA) =AB [mm]\in[/mm] M
>
>
> Bei (**) ist also mein Problem!
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Fr 14.11.2014 | | Autor: | sissile |
> > Aber wie mache ich das geschickt?
> Berechne a, b mit [mm]BA= A^a B^b[/mm].
> Damit lässt dich sehr
> schnell zeigen, dass [mm]A^iB^jA^kB^l[/mm] von der gewünschten Form
> ist.
Hallo,
[mm] BA=A^3 [/mm] B
=> a=3, b=1
Ich verstehe nicht was du mir mit den zweiten Satz sagen möchtest.
Es ist noch immer zuZeigen, dass [mm] M=\{I_2,A,A^2,A^3,B,B^3,AB,BA\} [/mm] unter der Multiplikation abgeschlossen ist.
> Das umgangsprachliche "logisch" hat in der Mathematik nicht viel verloren.
> Entweder man kann etwas beweisen oder nicht. Man kann vermuten, dass > etwas stimmt.
> Und ich sehe nicht wie das die Behauptung beweisen soll.
> Wie zeigt dass z.B. $ A^3B [mm] \in [/mm] M $ ?
Indem ich die Assoziativität nutze:
[mm] AAAB=AA(AB)\subseteq [/mm] AAM=A(AM) [mm] \subseteq [/mm] AM [mm] \subseteq [/mm] M
Ich nutze jedes Mal: A*M [mm] \subseteq [/mm] M
Jede Multiplikation von Elementen von M ist ja eine Hintereinanderkettung von A und B. (außer [mm] I_2)
[/mm]
Wie gesagt wahrscheinlich vertuhe ich mich da, dass es reicht $ [mm] A\cdot{}M\subseteq [/mm] $ M und $ [mm] B\cdot{}M\subseteq [/mm] $ M zuzeigen um [mm] Q_8 [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] M zu beweisen. War nur eine Vermutung - die ich noch nicht aufgegeben habe ;)
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> > > Aber wie mache ich das geschickt?
> > Berechne a, b mit [mm]BA= A^a B^b[/mm].
> > Damit lässt dich sehr
> > schnell zeigen, dass [mm]A^iB^jA^kB^l[/mm] von der gewünschten Form
> > ist.
>
> Hallo,
>
> [mm]BA=A^3[/mm] B
> => a=3, b=1
> Ich verstehe nicht was du mir mit den zweiten Satz sagen
> möchtest.
> Es ist noch immer zuZeigen, dass
> [mm]M=\{I_2,A,A^2,A^3,B,B^3,AB,BA\}[/mm] unter der Multiplikation
> abgeschlossen ist.
oder i.a.W. [mm] $A^i B^jA^kB^l=A^nB^m$ [/mm] mit $i,k,n [mm] \in \{0,1,2,3}$, [/mm] $j,l,m [mm] \in \{0,1\}$ [/mm]
> > Das umgangsprachliche "logisch" hat in der Mathematik nicht
> viel verloren.
> > Entweder man kann etwas beweisen oder nicht. Man kann
> vermuten, dass > etwas stimmt.
> > Und ich sehe nicht wie das die Behauptung beweisen
> soll.
> > Wie zeigt dass z.B. [mm]A^3B \in M[/mm] ?
Du ist beim zitieren ein A verlorengegangen.
Ich sprach von $A^3BA$
> Indem ich die Assoziativität nutze:
> [mm]AAAB=AA(AB)\subseteq[/mm] AAM=A(AM) [mm]\subseteq[/mm] AM [mm]\subseteq[/mm] M
> Ich nutze jedes Mal: A*M [mm]\subseteq[/mm] M
> Jede Multiplikation von Elementen von M ist ja eine
> Hintereinanderkettung von A und B. (außer [mm]I_2)[/mm]
>
> Wie gesagt wahrscheinlich vertuhe ich mich da, dass es
> reicht [mm]A\cdot{}M\subseteq[/mm] M und [mm]B\cdot{}M\subseteq[/mm] M
> zuzeigen um [mm]Q_8[/mm] M [mm]\subseteq[/mm] M zu beweisen. War nur eine
> Vermutung - die ich noch nicht aufgegeben habe ;)
Das ist ja auch gut so. Also nicht aufgeben, weiter einen Beweis versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Sa 15.11.2014 | | Autor: | sissile |
> Das ist ja auch gut so. Also nicht aufgeben, weiter einen
> Beweis versuchen.
Hallo,
Ich hab mich an einen Beweis versucht:
Sei [mm] V:=\{q \in Q_8 | qM = M\}
[/mm]
Ich möchte zeigen: V Untergruppe von [mm] Q_8
[/mm]
Denn da A,B [mm] \in [/mm] V (Beitrag 1 unten gezeigt) => <A,B> [mm] \subseteq [/mm] V
Womit die Abgeschlossenheit von M gezeigt wäre.
-) V [mm] \not= \emptyset, [/mm] da A,B [mm] \in [/mm] V
-) V [mm] \subseteq Q_8
[/mm]
-) Seien [mm] q_1, q_2 \in [/mm] V
[mm] q_1 q_2 [/mm] = [mm] q_1(q_2 M)=q_1 [/mm] M = M
=> [mm] q_1 q_2 \in [/mm] V
-) Sei q [mm] \in [/mm] V
ZZ.: [mm] (q)^{-1} \in [/mm] V
Da stecke ich, hast du vlt. da eine Idee, oder kannst mir sagen ob die Überlegungen falsch sind?
> Du ist beim zitieren ein A verlorengegangen.
[mm] A^3 [/mm] BA = [mm] A^3 [/mm] (B [mm] A)\subseteq A^3 [/mm] M = [mm] AA(AM)\subseteqAAM=A(AM)\subseteq AM\subseteq [/mm] M
Weil BM=M und AM=M wobei das Komplexprodukt jeweils gemeint ist.
Zu deiner Methode zurück:
> $ [mm] M=\{I_2,A,A^2,A^3,B,B^3,AB,BA\} [/mm] $ unter der Multiplikation
> abgeschlossen ist.
> oder i.a.W. $ [mm] A^i B^jA^kB^l=A^nB^m [/mm] $ mit $ i,k,n [mm] \in \{0,1,2,3} [/mm] $, $ j,l,m [mm] \in \{0,1\} [/mm] $
Was heißt : i.a.W ?
[mm] A^i B^jA^kB^l=A^i (A^k)^3 (B^j)^1 B^l= A^{i+3k} B^{j+l}
[/mm]
Jetzt ist aber 0<i+3k<12 und 0<j+l<2
Da aber [mm] A^4= I_2 [/mm] also ord(A)=4, kann ich mir die Potenz von A ja Modulo 4 anschauen.
[mm] =A^{i+3k mod(4)} B^{j+l}
[/mm]
Jetzt ist noch ein Problem bei der Potenz von B:
Aber [mm] B^{2} [/mm] = [mm] A^{2}. [/mm]
Und damit:
[mm] A^{\mbox{Potenz mod(4)}}B^{2}= A^{\mbox{Potenz (mod4)}}A^{2}=A^{\mbox{Potenz }+2mod(4)}
[/mm]
=> 0<j+l<1
Gespannt auf deine Antwort,
LG,
sissi
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> > Das ist ja auch gut so. Also nicht aufgeben, weiter einen
> > Beweis versuchen.
>
> Hallo,
> Ich hab mich an einen Beweis versucht:
>
> Sei [mm]V:=\{q \in Q_8 | qM = M\}[/mm]
> Ich möchte zeigen: V
> Untergruppe von [mm]Q_8[/mm]
> Denn da A,B [mm]\in[/mm] V (Beitrag 1 unten gezeigt) => <A,B>
> [mm]\subseteq[/mm] V
> Womit die Abgeschlossenheit von M gezeigt wäre.
>
> -) V [mm]\not= \emptyset,[/mm] da A,B [mm]\in[/mm] V
>  V [mm]\subseteq Q_8[/mm]
> Seien [mm]q_1, q_2 \in[/mm] V
> [mm]q_1 q_2[/mm] = [mm]q_1(q_2 M)=q_1[/mm] M = M
> => [mm]q_1 q_2 \in[/mm] V
> Sei q [mm]\in[/mm] V
> ZZ.: [mm](q)^{-1} \in[/mm] V
> Da stecke ich, hast du vlt. da eine Idee, oder kannst mir
> sagen ob die Überlegungen falsch sind?
[mm] $M=(q^{-1}q)M=q^{-1}(qM)$
[/mm]
> > Du ist beim zitieren ein A verlorengegangen.
> [mm]A^3[/mm] BA = [mm]A^3[/mm] (B [mm]A)\subseteq A^3[/mm] M =
> [mm]AA(AM)\subseteqAAM=A(AM)\subseteq AM\subseteq[/mm] M
> Weil BM=M und AM=M wobei das Komplexprodukt jeweils
> gemeint ist.
>
> Zu deiner Methode zurück:
> > [mm]M=\{I_2,A,A^2,A^3,B,B^3,AB,BA\}[/mm] unter der
> Multiplikation
> > abgeschlossen ist.
>
> > oder i.a.W. [mm]A^i B^jA^kB^l=A^nB^m[/mm] mit [mm]i,k,n \in \{0,1,2,3} [/mm],
> [mm]j,l,m \in \{0,1\}[/mm]
> Was heißt : i.a.W ?
in anderen Worten
> [mm]A^i B^jA^kB^l=A^i (A^k)^3 (B^j)^1 B^l= A^{i+3k} B^{j+l}[/mm]
>
> Jetzt ist aber 0<i+3k<12 und 0<j+l<2
> Da aber [mm]A^4= I_2[/mm] also ord(A)=4, kann ich mir die Potenz
> von A ja Modulo 4 anschauen.
> [mm]=A^{i+3k mod(4)} B^{j+l}[/mm]
Richtig.
> Jetzt ist noch ein Problem bei
> der Potenz von B:
> Aber [mm]B^{2}[/mm] = [mm]A^{2}.[/mm]
> Und damit:
> [mm]A^{\mbox{Potenz mod(4)}}B^{2}= A^{\mbox{Potenz (mod4)}}A^{2}=A^{\mbox{Potenz }+2mod(4)}[/mm]
Genau.
> => 0<j+l<1
Und damit ist der Beweis eigentlich schon fertig.
> Gespannt auf deine Antwort,
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 16.11.2014 | | Autor: | sissile |
Ah ich freu mich, das heißt mein Weg stimmt auch ?
Vielen lieben Dank für die Hilfe!!
LG,
sissi
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