Q adjungiert Primzahlwurzeln < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien [mm] n\in [/mm] N* und [mm] p_1,...,p_n [/mm] paarweise verschiedene Primzahlen. Sei L:= [mm] \IQ(\wurzel{p_1},...,\wurzel{p_n}) \le \IR. [/mm] Sei [mm] M:=\IQ(\wurzel{p_1}+...+\wurzel{p_n})
[/mm]
Beh: a) [mm] (\IQ, [/mm] L) ist endlich galoissch.
b) [mm] Gal(\IQ,L) [/mm] ist eine "elementar abelsche Gruppe" der Ordnung [mm] 2^n, [/mm] d.h. eine Gruppe der ORdnung [mm] 2^n, [/mm] in der jedes von 1 verschiedene Element die Ordnung 2 hat.
b)L=M. |
Und noch einmal hallo.
Irgendwie ist heute nicht mein Tag, stehe bei allen Aufgaben irgendwie 1. auf dem Schlauch und 2. unter Zeitdruck:)
zu a) Dachte mir, ich gehe da mit Induktion dran, bin mir aber nicht sicher, dass das auch wirklich geht. Das "endlich" ist trivial (sogar für mich), da ich doch für die Ind. Annahme [mm] "\IQ(\wurzel{p_1},...,\wurzel{p_n}) [/mm] für n aus [mm] \IN [/mm] endlich" bei n+1 schließen kann, dass der Körper dann wieder nur einfach ist [mm] (\wurzel{p_{n+1}} [/mm] adjungiert) und somit folgt mit dimensionsformel das das Ding auch wieder endlich ist. Aber bei [mm] "(\IQ,L) [/mm] separabel und normal" haperts und ich bin mir nicht ganz sicher, dass das so funktioniert.
zu c) Wieder habe ich das hier mit Induktion versucht und bin gescheitert. Ich meine, letztendlich läuft das dann doch darauf hinaus, zu zeigen, dass [mm] \IQ(\wurzel{p_1}+....+\wurzel{p_n}, \wurzel{p_{n+1}})=\IQ(\wurzel{p_1}+....+\wurzel{p_{n+1}}) [/mm] ist und da wüsste ich auch wieder nicht weiter, außer natürlich ich darf davon ausgehen, dass das ganze so trivial ist, wie es auf den ersten Blick aussieht?
zu b) Ähem... vll sollte mir jemand auf die Sprünge helfen, was genau "elemente der Ordnung 2" sind. Vermute das sind die a , für die gilt [mm] a^2=1 [/mm] oder etwas in der Art? Sollte meine Vermutung stimmen, weiß ich aber immer noch nicht wirklich, wie ich die Aufgabe angehen muss.
Wie man sieht, sind meine mathematischen Versuche diese Woche katastrophal und ich bitte (bettle, um genau zu sein) um Hilfe. Ansätze sind ein wenig dürftig, aber ich hänge auch ein wenig mit dem Stoff hinterher und bin extrem übernächtigt:(
Danke hoffnungsvoll im Voraus,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 22.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Seien [mm]n\in[/mm] N* und [mm]p_1,...,p_n[/mm] paarweise verschiedene
> Primzahlen. Sei L:= [mm]\IQ(\wurzel{p_1},...,\wurzel{p_n}) \le \IR.[/mm]
> Sei [mm]M:=\IQ(\wurzel{p_1}+...+\wurzel{p_n})[/mm]
> Beh: a) [mm](\IQ,[/mm] L) ist endlich galoissch.
> b) [mm]Gal(\IQ,L)[/mm] ist eine "elementar abelsche Gruppe" der
> Ordnung [mm]2^n,[/mm] d.h. eine Gruppe der ORdnung [mm]2^n,[/mm] in der jedes
> von 1 verschiedene Element die Ordnung 2 hat.
> b)L=M.
> zu a) Dachte mir, ich gehe da mit Induktion dran, bin mir
> aber nicht sicher, dass das auch wirklich geht. Das
> "endlich" ist trivial (sogar für mich), da ich doch für die
> Ind. Annahme [mm]"\IQ(\wurzel{p_1},...,\wurzel{p_n})[/mm] für n aus
> [mm]\IN[/mm] endlich" bei n+1 schließen kann, dass der Körper dann
> wieder nur einfach ist [mm](\wurzel{p_{n+1}}[/mm] adjungiert) und
> somit folgt mit dimensionsformel das das Ding auch wieder
> endlich ist.
das stimmt, aber für was brauchst du die endlichkeit der körpererweiterung?
> Aber bei [mm]"(\IQ,L)[/mm] separabel und normal"
> haperts und ich bin mir nicht ganz sicher, dass das so
> funktioniert.
hier ist induktion glaube ich nicht sonderlich hilfreich. [mm] $L/\mathbb{Q}$ [/mm] ist seperabel, da [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] perfekt oder vollkommen ist [mm] ($\textrm{char} \, \mathbb{Q} [/mm] = 0$) und somit jede algebraische erweiterung seperabel ist.
für die normalität könnte man vielleicht damit argumentieren, dass körpererweiterungen vom grad $2$ immer normal sind, aber man muss hier aufpassen, da normalität sich nicht transitiv verhält - also wenn $M/L$ und $L/K$ normal sind, dann muss $M/K$ noch lange nicht normal sein, aber vielleicht kommt man doch irgendwie so hin, das sehe ich aber gerade nicht so genau.
> zu c) Wieder habe ich das hier mit Induktion versucht und
> bin gescheitert. Ich meine, letztendlich läuft das dann
> doch darauf hinaus, zu zeigen, dass
> [mm]\IQ(\wurzel{p_1}+....+\wurzel{p_n}, \wurzel{p_{n+1}})=\IQ(\wurzel{p_1}+....+\wurzel{p_{n+1}})[/mm]
> ist und da wüsste ich auch wieder nicht weiter, außer
> natürlich ich darf davon ausgehen, dass das ganze so
> trivial ist, wie es auf den ersten Blick aussieht?
hier ist es vorteilhaft erst den aufgabenteil b) zu machen, dann geht c) schneller 
> zu b) Ähem... vll sollte mir jemand auf die Sprünge
> helfen, was genau "elemente der Ordnung 2" sind. Vermute
> das sind die a , für die gilt [mm]a^2=1[/mm] oder etwas in der Art?
> Sollte meine Vermutung stimmen, weiß ich aber immer noch
> nicht wirklich, wie ich die Aufgabe angehen muss.
das mit elementen der ordnung $2$ siehst du genau richtig, man soll also zeigen, dass die galois-gruppe isomorph zu [mm] $C_2 \times C_2 \times [/mm] ... [mm] \times C_2 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times [/mm] ... [mm] \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] ist. um einen automorphismus anzugeben genügt es a die bilder der erzeuger der körpererweiterung festzulegen. also genügt es sich zu überlegen auf was für ein element [mm] $\sqrt{p_1}$ [/mm] und die anderen erzeuger abgebildet werden können.
zu c) ich habe leider keine idee, wie man das direkt zeigen kann, aber es gibt eine beliebte übungsaufgabe, die man hier sehr gewinnbringend einsetzen kann:
sei $L/K$ eine körperweiterung vom grad $[L: K] = n$. Für ein element [mm] $\alpha \in [/mm] L$ gebe es automorphismen [mm] $\sigma_i: [/mm] L [mm] \longmapsto [/mm] L$ für $t=1, ..., n$, so dass gilt [mm] $\sigma_i|_K [/mm] = [mm] \textrm{id}_K$ [/mm] für alle $i$ und [mm] $\sigma_i(\alpha) \not= \sigma_j(\alpha)$ [/mm] für $i [mm] \not= [/mm] j$. dann gilt $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] (siehe z.b. bosch, algebra, 5. auflage, seite 109, aufgabe 7).
wenn ihr diese aufgabe schon hattet, dann ist das mithilfe von b), in der hast du nämlich genau die [mm] $\sigma_i$ [/mm] bestimmt, ganz einfach.
ich hoffe das hilft schonmal etwas weiter.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 23.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Hallo Andreas, vielen Dank schon mal für die ausführlichen Antworten.
Leider sind für mich trotzdem noch einigermaßen viele Fragen offen.
Also, der Reihe nach:
zu a)
ich dachte, ich muss die Endlichkeit zeigen, weil sie in der Behauptung aufgeführt ist?
Das mit der Separabilität habe ich übersehen, die ist also doch klar.
Bei der Normalität gerate ich allerdings ins Stocken: Du argumentierst mit Körpererweiterungen des GRades 2, was hier wenig Sinn macht, da es hier doch nicht zwingend vorliegt (außer vielleicht man löst es doch mit Induktion?)
zu b) Ich glaube das habe ich verstanden, auch wenn ich mir nicht sicher bin, dass meine Funktion bijektiv ist (stand mit Faktorgruppen schon immer auf dem Kriegsfuß): Sei f: [mm] Gal(\IQ,L) \to \IZ/2\IZ [/mm] , [mm] \wurzel{p_i} \mapsto p_i+2\IZ [/mm] (vorausgesehen ich habe das jetzt richtig verstanden mit den "Bildern der Erzeuger unter der Galoisgruppe"... Sind doch wieder genau die Erzeuger, oder?)
Meine Frage: ist das wirklich bijektiv? Denn eigentlich ist [mm] p_i+2\IZ [/mm] ja [mm] 1+2\IZ [/mm] bzw. für p=2 [mm] 2\IZ
[/mm]
zu c) Ich habe nach meine [mm] \sigma_i [/mm] gesucht, bin mir abar noch nicht ganz so im klaren, wie ich die Sache angehen muss. die [mm] \sigma_i [/mm] sind doch elemente der Galoisgruppe? und die dimension von [mm] (\IQ,L) [/mm] ist in diesem Fall (siehe b)) [mm] 2^n [/mm] und mein [mm] \alpha [/mm] die summe der Wurzeln? Wie sollen denn dann sie [mm] \sigma_i [/mm] aussehen?
Gruß San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zu b) Ich glaube das habe ich verstanden, auch wenn ich mir
> nicht sicher bin, dass meine Funktion bijektiv ist (stand
> mit Faktorgruppen schon immer auf dem Kriegsfuß): Sei f:
> [mm]Gal(\IQ,L) \to \IZ/2\IZ[/mm] , [mm]\wurzel{p_i} \mapsto p_i+2\IZ[/mm]
Das ist keine Funktion: [mm] $\wurzel{p_i} \not\in Gal(\IQ, [/mm] L)$!
> (vorausgesehen ich habe das jetzt richtig verstanden mit
> den "Bildern der Erzeuger unter der Galoisgruppe"... Sind
> doch wieder genau die Erzeuger, oder?)
> Meine Frage: ist das wirklich bijektiv? Denn eigentlich
> ist [mm]p_i+2\IZ[/mm] ja [mm]1+2\IZ[/mm] bzw. für p=2 [mm]2\IZ[/mm]
Genau, das waer ein weiterer Grund warum diese Funktion nichts bringt.
Was Andreas meint: Wenn [mm] $\sigma \in Gal(\IQ, [/mm] L)$ ist, dann ist [mm] $\sigma(\sqrt{p_i}) [/mm] = [mm] \pm \sqrt{p_i}$ [/mm] fuer jedes $i$. Und wenn du jetzt [mm] $f(\sigma) [/mm] = [mm] (sgn(\sigma(\sqrt{p_1})), \dots, sgn(\sigma(\sqrt{p_n})))$ [/mm] definierst mit $sgn : [mm] \IR^* \to \IZ/2\IZ$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} 1+2\IZ, & x < 0, \\ 2\IZ, & x > 0 \end{cases}$ [/mm] hast du die gesuchte Funktion. Du musst 'nur' noch zeigen dass sie bijektiv ist.
Allgemein zur Aufgabe: Schau dir mal das Polynom $g = [mm] \prod_{i=1}^n (x^2 [/mm] - [mm] p_i) \in \IQ[x]$ [/mm] an. Dann ist $L$ der Zerfaellungskoerper von $g$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] (warum?). Vielleicht hilft dir das ein wenig weiter :)
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zu a)
> ich dachte, ich muss die Endlichkeit zeigen, weil sie in
> der Behauptung aufgeführt ist?
Die musst du auch zeigen. Das kannst du auch ruhig per Induktion machen wie du das im ersten Posting geschrieben hattest.
> Das mit der Separabilität habe ich übersehen, die ist also
> doch klar.
Ja, da die Charakteristik $0$ ist, wie Andreas schon schrieb.
> Bei der Normalität gerate ich allerdings ins Stocken: Du
> argumentierst mit Körpererweiterungen des GRades 2, was
> hier wenig Sinn macht, da es hier doch nicht zwingend
> vorliegt (außer vielleicht man löst es doch mit
> Induktion?)
Per Induktion hast du Koerpererweiterungen vom Grad (hoechstens) zwei. Das bringt hier allerdings nichts. Schau dir mal das Polynom an, was ich in dem anderen Posting angegeben hab, und zeig, dass $L$ der Zerfaellungskoerper davon ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Dann ist [mm] $L/\IQ$ [/mm] automatisch normal (Zerfaellungskoerper sind immer normal).
> zu c) Ich habe nach meine [mm]\sigma_i[/mm] gesucht, bin mir abar
> noch nicht ganz so im klaren, wie ich die Sache angehen
> muss. die [mm]\sigma_i[/mm] sind doch elemente der Galoisgruppe?
Genau. Und sie machen nichts anderes als die [mm] $\sqrt{p_i}$ [/mm] durch [mm] $-\sqrt{p_i}$ [/mm] zu ersetzen oder halt auch nicht.
Um (c) zu beweisen, kannst du wie folgt vorgehen:
- Die Galoisgruppe ist nach (b) abelsch, insbesondere ist also jede Untergruppe normal.
- Sei $U$ die zu dem Zwischenkoerper $M$ gehoerende Untergruppe, also $U = [mm] \{ \sigma \in Gal(\IQ, L) \mid \sigma|_M = id_M \}$. [/mm] Also ist $U$ ein Normalteiler in [mm] $Gal(\IQ, [/mm] L)$.
- Daraus folgt jetzt, dass [mm] $\IQ [/mm] = [mm] \{ x \in L \mid \sigma(x) = x \text{ fuer alle } \sigma \in Gal(\IQ, M) \}$ [/mm] ist: Damit ist $M$ eine galoissche Erweiterung von [mm] $\IQ$.
[/mm]
- Insbesondere ist also $M$ invariant von allen Automorphismen aus [mm] $Gal(\IQ, [/mm] L)$, also insbesondere [mm] $\sigma(\sqrt{p_1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \sqrt{p_n}) \in [/mm] M$ fuer alle [mm] $\sigma \in Gal(\IQ, [/mm] L)$.
- Jetzt schau dir mal die Bilder von [mm] $\sqrt{p_1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \sqrt{p_n}$ [/mm] unter ein paar Automorphismen von $L$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] an. Die Bilder liegen alle in $M$, und wenn du aus den Bildern (durch geschicktes Addieren der Bilder und dividieren durch Zahlen $k [mm] \in \IN$) [/mm] alle [mm] $\sqrt{p_i}$, [/mm] $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$ bekommen kannst, hast du somit $L = M$.
LG Felix
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schaue mir das bei Gelegenheit noch genauer an, muss mich aber heute schon wieder auf die neuen Zettel stürzen, für den hab ich auch nur noch 2 Tage