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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Seit einiger Zeit begegnet mir in meiner Vorlesung immer wieder folgender Körper:
[mm] $\IQ(\wurzel{2}) [/mm] = [mm] \{ a+b\wurzel{2} | a,b \in \IQ \}$
[/mm]
Also ich verstehe, was das sein soll, das ist doch die Menge aller Zahlen, die die Form [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] haben, wobei [mm] a,b\in\IQ.
[/mm]
Aber irgendwie kann ich mit dieser Menge nichts anfangen. Ich kann sie irgendwie nicht so einordnen, weiß nicht, wofür sie gut ist, welchen Sinn sie hat, wofür man sie benutzt.
Weiß das vielleicht jemand von euch?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mi 26.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach dir mal klar, dass im kartesischen Koordinatensystem der Vektor
[mm] \vec{v}=\vektor{1\\1} [/mm] die Länge [mm] l=\wurzel{2} [/mm] hat.
Und jetzt stelle dir ein Koordinatensystem (KOS) vor, dass folgende Achsen hat:
1.Achse: Die "normale" 1.Achse im kartesischen KOS
2.Achse: Die 1 Winkelhalbierende des Kartesichen KOS
Damit hast du ein KOS für [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] geschaffen.
Ist dir der Körper jetzt etwas klarer geworden?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Marius!
> Mach dir mal klar, dass im kartesischen Koordinatensystem
> der Vektor
> [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1}[/mm] die Länge [mm]l=\wurzel{2}[/mm] hat.
Ja, das ist mir klar.
> Und jetzt stelle dir ein Koordinatensystem (KOS) vor, dass
> folgende Achsen hat:
>
> 1.Achse: Die "normale" 1.Achse im kartesischen KOS
> 2.Achse: Die 1 Winkelhalbierende des Kartesichen KOS
Ja, ok.
> Damit hast du ein KOS für [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] geschaffen.
>
> Ist dir der Körper jetzt etwas klarer geworden?
Das versteh ich jetzt nicht mehr.
Was genau bedeutet "ein KOS für [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm]"?
Wie würde ich da z.B. Werte eintragen?
Was hat das ganze mit der Länge des [mm]\vec{v}=\vektor{1\\1}[/mm] zu tun?
Also im Moment versteh ich das noch gar nicht... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Noch zwei andere Fragen zu diesem Körper:
1) Wie sieht das neutrale Element in [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] aus?
2) Wenn [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] ein Element aus [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist, ist dann [mm] -(a+b\wurzel{2})=-a-b\wurzel{2} [/mm] das dazu inverse Element?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 07.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
"nuetzlich" ist dieser Koerper nicht direkt, aber sehr geeignet "Koerpererweiterungen" zu sehen. hier ne besonders einfache.
Das neutrale Element bleibt dasselbe, wie in [mm] \IQ, [/mm] denn Q ist ja (mit b=0) ein Teilkoerper von [mm] \IQ. [/mm] entsprechend hast du das Inverse richtig definiert. fuer Addition und Multiplikation nimmt man einfach die normalen Regeln der klammerrechnung.
man muss noch definieren [mm] \wurzel{2}*\wurzel{2}=2
[/mm]
und [mm] 1/\wurzel{2}=1/2*\wurzel{2}
[/mm]
Dann kann man alle Koerperaxiome nachweisen.
einen rationalen Naeherungswert fuer [mm] \wurzel{2} [/mm] muss man dabei nicht kennen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo leduart!
Danke für deine Hilfe.
Nun versuche ich grade die Vektorraumaxione nachzuweisen, weil ich hier stehen habe, dass [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] zum einen ein [mm] \IQ(\wurzel{2})-Vektorraum [/mm] ist, aber auch ein [mm] \IQ-Vektorraum.
[/mm]
Und da gibt es folgendes Axiom: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V: [mm] 1_K [/mm] * x = x$
Also V ist ja [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] und K ist im ersten Fall auch [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] und im zweiten Fall nur [mm] \IQ [/mm] .
Und nun frage ich mich, wie [mm] 1_K [/mm] aussieht.
Für [mm] K=\IQ [/mm] ist mir das klar, einfach die 1. Und bei [mm] K=\IQ(\wurzel{2})? [/mm] Ist es da auch einfach 1 (also a=1 und b=0)?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo leduart!
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> Danke für deine Hilfe.
>
> Nun versuche ich grade die Vektorraumaxione nachzuweisen,
> weil ich hier stehen habe, dass [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] zum einen
> ein [mm]\IQ(\wurzel{2})-Vektorraum[/mm] ist, aber auch ein
> [mm]\IQ-Vektorraum.[/mm]
>
> Und da gibt es folgendes Axiom: [mm]\forall x \in V: 1_K * x = x[/mm]
>
> Also V ist ja [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] und K ist im ersten Fall auch
> [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] und im zweiten Fall nur [mm]\IQ[/mm] .
>
> Und nun frage ich mich, wie [mm]1_K[/mm] aussieht.
>
> Für [mm]K=\IQ[/mm] ist mir das klar, einfach die 1. Und bei
> [mm]K=\IQ(\wurzel{2})?[/mm] Ist es da auch einfach 1 (also a=1 und b=0)? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, denn es ist [mm] $1=1+0\cdot{}\sqrt{2}\in\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] und für alle [mm] $a+b\sqrt{2}\in\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] gilt: [mm] $1\cdot{}(a+b\cdot{}\sqrt{2})=(a+b\cdot{}\sqrt{2})\cdot{}1=a+b\cdot{}\sqrt{2}$
[/mm]
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> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Danke für eure Hilfe 
LG, Nadine
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