Quadrat. Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 26.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo!
Hätte wieder 2 Algebra-Fragen:
I.)Für eine quadratische Matrix A gilt:
1.) Es ex. eine Matrix B mit AB=I ( I=Einheitsmatrix )
2.) Es ex. eine Matrix B mit AB=BA=I
Zu zeigen ist die Äquivalenz der Aussagen 1 und 2, also aus 1 folgt 2 und
aus 2 folgt 1....Vielleicht könnt ihr eine kleine Hilfesellung geben, wie man
solche Aufg. generell löst, ich vermute, es ist immer das gleiche Schema, oder?
II.)Wie zeigt man, daß Aussagen - wieder quadrat. Matrizen vorausgesetzt - wie
1.)det ( A+B ) = det (A )+ det (B)
2.)det (aA ) = det (A)a , wobei a eine reelle Zahl ist,
3.)det (aA ) = lal det (A) , also Betrag von a mal Determinante von A..,
stimmen oder nicht stimmen?
Auch hier wird es ja wohl immer dasselbe Schema sein, stimmt´s ?
Danke für eure Hilfe!
eini
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 26.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo eini!
> I.)Für eine quadratische Matrix A gilt:
>
> 1.) Es ex. eine Matrix B mit AB=I ( I=Einheitsmatrix )
> 2.) Es ex. eine Matrix B mit AB=BA=I
Also, schauen wir uns die beiden Aussagen mal an. Sie sehen ja sehr ähnlich aus. Bei der zweiten Aussage wird aber mehr gefordert. Man könnte sie ja auch so formulieren:
2.) Es gilt 1.) und zusätzlich: $BA=I$,
Daher folgt aus 2.) sofort 1.).
Wie kann man nun aus 1.) die Behauptung 2.) folgern?
Hier müsste ich genauer wissen, was ihr in der Vorlesung gelernt habt. Was wisst ihr über den Zusammenhang zwischen Matrizen und Abbildungen?
Kennt ihr die Aussage: Die durch eine Matrix induzierte lineare Abbildung ist genau dann injektiv/surjektiv, wenn die Matrix eine Linksinverse/Rechtsinverse hat?
Oder wisst ihr vielleicht sogar schon, dass aus $AB=I$ die Existenz einer Matrix $C$ mit $CA=I$ folgt und man daher nur noch $C=B$ zeigen muss?
> II.)Wie zeigt man, daß Aussagen - wieder quadrat. Matrizen
> vorausgesetzt - wie
> 1.)det ( A+B ) = det (A )+ det (B)
> 2.)det (aA ) = det (A)a , wobei a eine reelle Zahl
> ist,
> 3.)det (aA ) = lal det (A) , also Betrag von a mal
Tipp: Ich würde mir für alles mal Gegenbeispiele suchen...
1.) Vielleicht fallen dir ja zwei Matrizen ein, die beide die Determinante $1$ haben (da gibt es ja einen heißen (kanonischen) Kandidaten  ), aber deren Summe die Determinante $0$ besitzt.
2./3.) Demnach müsste ja
[mm] $\det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} [/mm] = 2 [mm] \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
sein... Hmmh, ist es das denn?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:51 Mo 27.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Stefan,
vielen Dank !
Zur Aufgabe II, Teil1 - damit Du auch siehst, daß ich mitdenke : ) - :
Das sind die Einheitsmatrix und die negative Einheitsmatrix - jeweils 2x2 - ,
dann sind det ( I + (-I) ) = det ( O ) = 0, während sowohl det ( I ) als auch
det ( -I ) =1 sind, in der Summe also 2 ...
Ich weiß, daß es in der Mathematik immer ausreicht, eine Aussage zu widerlegen, wenn man ein Gegenbeispiel aufzeigt, wie ließe sich denn eine dieser 3 Aussagen allgemein widerlegen? ( Für det ( A+B ) = det A + det B
habe ich einfach komponentenweise für 2x2 Matrizen gerechnet, also
a11 ... b22 eingesetzt, und dadurch die Ungleichheit festgestellt.Geht das
aber nicht irgendwie eleganter - und allgemeiner?Z.B., angenommen, man würde vor einer wahren Aussage sitzen, von der man nicht weiß, daß sie richtig ist und probiert diese mit "geeigneten" Gegenbeispielen zu erschlagen... )
Zur 1.Aufgabe :
Also, das mit den linearen Abbildungen haben wir definitiv nicht behandelt : ) ... Das andere kommt mir schwer bekannt vor, gäb´s denn evtl. noch einen anderen Beweisweg, der sich nicht auf die Kenntnis der
Existenz einer Matrix C, von der C=B gilt, stützt ?
Liebe Grüße zurück und vielen Dank !!
eini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber eini!
> Zur Aufgabe II, Teil1 - damit Du auch siehst, daß ich
> mitdenke : ) - :
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Das sind die Einheitsmatrix und die negative Einheitsmatrix
> - jeweils 2x2 - ,
> dann sind det ( I + (-I) ) = det ( O ) = 0, während sowohl
> det ( I ) als auch
> det ( -I ) =1 sind, in der Summe also 2 ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich weiß, daß es in der Mathematik immer ausreicht, eine
> Aussage zu widerlegen, wenn man ein Gegenbeispiel aufzeigt,
> wie ließe sich denn eine dieser 3 Aussagen allgemein
> widerlegen?
Sie lässt sich nicht allgemein widerlegen. Denn es gilt ja:
[mm] $\det(A+B)= \det(A) [/mm] + [mm] \det(B)$
[/mm]
für $A=0=B$.
Aber wenn man gar nichts weiß, da geb ich dir Recht, könnte man einen Ansatz wie folgt machen:
Für $A= [mm] \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ [/mm] gilt:
[mm] $\det(A+B) [/mm] = [mm] (a_{11} [/mm] + [mm] b_{11}) \cdot (a_{22} [/mm] + [mm] b_{22}) [/mm] - [mm] (a_{21} [/mm] + [mm] b_{21}) \cdot (a_{12} [/mm] + [mm] b_{12})$
[/mm]
und
[mm] $\det(A) [/mm] + [mm] \det(B) [/mm] = [mm] a_{11}a_{22} [/mm] - [mm] a_{21}a_{12} [/mm] + [mm] b_{11}b_{22} [/mm] - [mm] b_{21} b_{12}$.
[/mm]
Wie du siehst (durch Ausmultiplizieren), gilt:
[mm] $\det(A+B) [/mm] = [mm] \det(A) [/mm] + [mm] \det(B) [/mm] + [mm] a_{11}b_{22} [/mm] + [mm] b_{11}a_{22} [/mm] - [mm] b_{21}a_{12} [/mm] - [mm] a_{21}b_{21}$.
[/mm]
Du siehst, dass im Allgemeinen beiden Seiten der Gleichung nicht identisch sein werden.
Um ein konkretes Gegenbeispiel zu finden, musst du dir also nur Matrizen $A$ und $B$ suchen mit
[mm] $a_{11}b_{22} [/mm] + [mm] b_{11}a_{22} [/mm] - [mm] b_{21}a_{12} [/mm] - [mm] a_{21}b_{21} \ne [/mm] 0$.
In unserem Beispiel war:
[mm] $a_{11}b_{22} [/mm] + [mm] b_{11}a_{22} [/mm] - [mm] b_{21}a_{12} [/mm] - [mm] a_{21}b_{21} =1\cdot [/mm] (-1) + (-1) [mm] \cdot [/mm] 1 - 0 [mm] \cdot [/mm] 0 - 0 [mm] \cdot [/mm] 0 = -2 [mm] \ne [/mm] 0$.
> Zur 1.Aufgabe :
>
> Also, das mit den linearen Abbildungen haben wir definitiv
> nicht behandelt : ) ... Das andere kommt mir schwer bekannt
> vor, gäb´s denn evtl. noch einen anderen Beweisweg, der
> sich nicht auf die Kenntnis der
> Existenz einer Matrix C, von der C=B gilt, stützt ?
Also, ihr müsst wenigstens eine der beiden Aussagen kennen/voraussetzen:
1) Die Matrix $B$, für die $AB=I$ gilt, besitzt selber eine Rechtsinverse.
oder
2) Die Matrix $A$ besitzt eine Linksinverse, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt.
Beweis unter der Voraussetzung 1)
Sei $C$ mit $BC=I$. Dann gilt:
$C=IC=(AB)C=A(BC)=AI=A$,
also:
$BA=BC=I$.
Beweis unter der Voraussetzung 2)
Sei $C$ die Linksinverse von $A$. dann gilt:
$C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B$,
also:
$BA=CA=I$.
Ich weiß ja nicht genau, was ihr alles wisst und genau gemacht habt, daher kann ich hier nur mit Vermutungen operieren. Suche dir einfach das Passende für dich raus.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 27.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Stefan!
Vielen Dank, ich lerne hier wirklich sehr viel, das ist so toll!
Hoffe, ich werde auch bald konstruktive Antworten zu interessanten Fragen geben können...
Weiß gar nicht, wie das vorher ohne matheforum gegangen ist...
Also, vielen Dank und bis bald ( ... zur nächsten Frage ... ) !
Schöne Grüße!
eini
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