Quadrat v. normalverteilter ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe n Zufallsvariablen [mm] $X_1, [/mm] ..., [mm] X_n \sim N(\mu,\sigma^2)$, [/mm] alle unabhängig.
Nun soll ich die Verteilung von [mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 [/mm] bestimmen. Ich weiß aber nicht, was da rauskommen soll. [mm] X_i-\mu [/mm] ist einfach eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 0 und Varianz [mm] \sigma^2. [/mm] Aber dann kommt das Quadrat. Wenn ich mit der Transformationsformel die Dichte von [mm] X_i^2 [/mm] bestimme, kommt nichts mir Bekanntes dabei heraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 14.04.2011 | | Autor: | luis52 |
Hallo
> [mm]X_i-\mu[/mm] ist einfach
> eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 0 und
> Varianz [mm]\sigma^2.[/mm]
Noch schoener wird die Chose, wenn du [mm] $(X_i-\mu)/\sigma$ [/mm] betrachtest. Der Quotient ist naemlich standardnormalverteilt. Und sein Quadrat ist dann [mm] $\chi^2(1)$-verteilt [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort (auch im anderen Faden :)).
Puh, also das Statistikblatt finde ich etwas schwierig. Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde noch nicht einmal in der Vorlesung erwähnt. Da wäre ich niemals von allein drauf gekommen...
Also schmuggel ich mir dann ein [mm] \sigma [/mm] hinzu.
[mm] ...=\frac{\sigma^2}{n}\summe_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2 [/mm] und das Ding ist dann verteilt wie [mm] \frac{\sigma^2}{n}*\chi^2(1).
[/mm]
Dann brauche ich noch die Varianz von dem Ding. Das wäre ja dann
[mm] Var(\frac{\sigma^2}{n}\summe_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2)=\frac{\sigma^4}{n^2}*n*Var(\frac{X_1-\mu}{\sigma})^2)=\frac{2*\sigma^4}{n} [/mm] nach Wikipedia.
Wäre das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Fr 15.04.2011 | | Autor: | luis52 |
> Hi!
>
> Danke für die Antwort (auch im anderen Faden :)).
> Puh, also das Statistikblatt finde ich etwas schwierig.
> Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde noch nicht einmal in der
> Vorlesung erwähnt. Da wäre ich niemals von allein drauf
> gekommen...
>
> Also schmuggel ich mir dann ein [mm]\sigma[/mm] hinzu.
>
> [mm]...=\frac{\sigma^2}{n}\summe_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2[/mm]
> und das Ding ist dann verteilt wie
> [mm]\frac{\sigma^2}{n}*\chi^2(1).[/mm]
Fast, [mm] $\chi^2(\red{n})$.
[/mm]
>
> Dann brauche ich noch die Varianz von dem Ding. Das wäre
> ja dann
>
> [mm]Var(\frac{\sigma^2}{n}\summe_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2)=\frac{\sigma^4}{n^2}*n*Var(\frac{X_1-\mu}{\sigma})^2)=\frac{2*\sigma^4}{n}[/mm]
> nach Wikipedia.
>
> Wäre das korrekt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Siehe oben.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Hilfe. Ich habe jetzt auch gemerkt, dass eine quadrierte, zentrierte normalverteilte Zufallsvariable einfach eine Gammaverteilung hat. Damit geht dann auch alles ganz leicht! Habe wohl nur nicht richtig aufgepasst.
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