Quadrate in endlichen Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mi 11.04.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei [mm] \IF_p [/mm] der endliche Körper mit p Elementen und Q = { [mm] x^2 [/mm] / x [mm] \in \IF_p [/mm] } die Menge aller Quadrate in [mm] \IF_p [/mm] , p > 2.
Beweisen sie, dass Q keine Untergruppe von ( [mm] \IF_p, [/mm] +) ist. |
Nabend zusammen.
Hier mal meine Idee zu der Aufgabe.
Die Ordnung von ( [mm] \IF_p, [/mm] +) ist p. Damit besitzt ( [mm] \IF_p, [/mm] +) nur die zwei trivialen Untergruppen.
Zeige also:
#Q > 1 und #Q < p.
Wenn dies gezeigt ist, dann ist Q keine Untergruppe von ( [mm] \IF_p, [/mm] +) , denn die Ordnung der Untergruppe müsste die Gruppenordnung teilen.
Es ist 0² = 0 und 1² = 1.
Damit sind 0, 1 [mm] \in [/mm] Q. Also #Q > 1
Weiter ist (p-1)² = p² - 2p + 1 = 1 (wegen char( [mm] \IF_p [/mm] ) = p
Damit folgt, dass #Q < p.
Insgesamt folgt dann, dass Q also keine Untergruppe von ( [mm] \IF_p, [/mm] +) ist.
Stimmen meine Argumente so alle? 
Vielen Dank
Grüße
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 11.04.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo Tina!
> Sei [mm]\IF_p[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
der endliche Körper mit p Elementen und Q = {
> [mm]x^2[/mm] / x [mm]\in \IF_p[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} die Menge aller Quadrate in [mm]\IF_p[/mm] , p >
> 2.
>
> Beweisen sie, dass Q keine Untergruppe von ( [mm]\IF_p,[/mm] +)
> ist.
> Nabend zusammen.
>
> Hier mal meine Idee zu der Aufgabe.
>
> Die Ordnung von ( [mm]\IF_p,[/mm] +) ist p. Damit besitzt ( [mm]\IF_p,[/mm]
> +) nur die zwei trivialen Untergruppen.
Das stimmt. Aus $1 [mm] \in [/mm] Q$ wuerde aber auch schon sofort $Q = [mm] \IF_p$ [/mm] folgen.
> Zeige also:
> #Q > 1 und #Q < p.
>
> Wenn dies gezeigt ist, dann ist Q keine Untergruppe von (
> [mm]\IF_p,[/mm] +) , denn die Ordnung der Untergruppe müsste die
> Gruppenordnung teilen.
>
> Es ist 0² = 0 und 1² = 1.
> Damit sind 0, 1 [mm]\in[/mm] Q. Also #Q > 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Weiter ist (p-1)² = p² - 2p + 1 = 1 (wegen char( [mm]\IF_p[/mm] )
> = p
>
> Damit folgt, dass #Q < p.
Das musst du etwas genauer begruenden. (Etwa: [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IF_p \to \IF_p$, [/mm] $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] ist eine Abbildung von einer endlichen Menge in sich selbst, die nicht injektiv ist. Deswegen ...)
> Insgesamt folgt dann, dass Q also keine Untergruppe von (
> [mm]\IF_p,[/mm] +) ist.
>
> Stimmen meine Argumente so alle?
>
> Vielen Dank
LG Felix
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