Quadrate von rationalen Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $a,b,c,d\in\IZ$ [/mm] mit:
[mm] $n=\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{d}\right)^2$
[/mm]
Bestimme [mm] $x,y\in\IZ$, [/mm] so dass
[mm] $n=x^2+y^2$ [/mm] |
Hallo an alle,
bin bereits ne Zeit lang am Überlegen, doch ich komme einfach nicht auf den richtigen Weg. Kann mit jemand bei der Umformung helft?
Ich danke vielmals.
Gruß
Denny
P.S.: Diese Frage wurde weder auf einer anderen Internetseite noch auf einer anderen Seite im Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Denny,
ich weiß leider nur eine etwas (zu?) komplizierte Lösung dieser Aufgabe. Man weiß, dass eine natürliche Zahl n genau dann Summe von zwei Quadraten ist, d.h.
[mm] n=x^2+y^2
[/mm]
mit [mm] $x,y\in\IZ$, [/mm] wenn jede Primzahl [mm] p\equiv [/mm] 3(4) in der Primfaktorzerlegung von n mit einem geraden Exponenten vorkommt. Beispiele:
[mm] 5=2^2+1^2,
[/mm]
[mm] 9=3^2=3^2+0^2
[/mm]
und
[mm] 490=2\cdot 3^2\cdot [/mm] 5= [mm] 3^3+9^3.
[/mm]
Gilt nun
[mm] n=\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{d}\right)^2
[/mm]
so folgt
[mm] n(bd)^2=(ad)^2+(cb)^2.
[/mm]
Damit muss n von der Form [mm] x^2+y^2 [/mm] mit [mm] x,y\in\IZ [/mm] sein: Wir wissen, dass in der Primfaktorzerlegung von [mm] n(bd)^2 [/mm] Primzahlen kongruent 3 modulo 4 nur mit geraden Exponenten vorkommen. Damit kommen auch in der Zerlegung von n solche Primfaktoren nur mit geradem Exponenten vor, denn [mm] (bd)^2 [/mm] ist ja ein Quadrat. Das zeigt immerhin, dass die Aussage richtig ist. Leider kann man auf diese Weise x und y nicht direkt hinschreiben, denn man muß ja zuerst n, b und d in Primfaktoren zerlegen. In jedem Fall könnte es bei der Lösung praktisch sein in [mm] $\IQ(i)$ [/mm] oder [mm] $\IZ[i]$ [/mm] zu rechnen. Vielleicht ist aber auch alles ganz einfach und ich habe ein Brett vorm Kopf.
Volker
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