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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Kristof |
Hallo,
Ich bin es mal wieder ;)
Habe wie sooft das Problem mit einer Textaufgabe.
Die ist irgendwie so merkwürdig gestellt, dass ich gar nicht mehr weiß, was ich denn nun rechnen soll ...
Aufgabe :
Von einer quadratischen Funktion f ist bekannt :
a) Gemeinsame Punkte des Graphen mit den Koordinatenachsen sind P1 (-5|0) P2 (-1|0) und P3 (0|2,5)
b) Der Graph hat mit den Koordinatenachsen nur die Punkte P2 (2|0) und P2 (0|-8) gemeinsam.
c) Zwischen den Stellen 4 und 6 (und nur dort) verläuft der Graph unterhalb der 1. Achse. Die Gerade mit der Gleichung y= -2 berührt den Graphen.
d)Die Funktion f nimmt an der Stelle -1 den Extremwert 2 an. An der Stelle 0 hat sie den Wert 5.
Gib den Funktionsterm in der Form f (x) = ax²+bx+c an.
Okay. Nun verstehe ich gar nicht genau was die von mir wollen.
Ich fange hier mal an wie ich's bei mir gemacht habe.
Bei a.) habe ich die Koordinaten der Punkte einfach in so eine Matrix eingesetzt um die Variablen für a,b sowie c rauszubekommen. Das ist auch gut aufgegangen und hat geklappt. Aber irgendwie würde das nicht schon reichen? Weil dann habe ich doch schon einen Funktionterm in der Form f (x) = ax²+bx+c an.
Bei b.) Habe ich dann einfach die Steigung m ausgerechnet, ich weiß nicht wieso aber habe ich gemacht +g+. Ist es so das hier eine Parabel und eine Gerade vorkommen oder nur eine Parabel? Weil dann ist hier ja schon mein fehler, da m ausrechnen dann ja wohl gar nichts bringt.
Bei c.) Weiß ich überhaupt nicht mehr weiter, hoffe da könnt ihr mir irgendeinen Tipp geben.
Genau wie bei d.).
Bitte gebt mir einen Tipp, sagt nicht alles, aber so ein Tipp wie ich darauf kommen könnte ;) Werde danach noch mal meine Lösung hier reinschreiben zur Kontrolle.
Wäre wirklich lieb.
Dankeschön
Kristof
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Hi, Kristof,
> Aufgabe :
>
> Von einer quadratischen Funktion f ist bekannt :
> a) Gemeinsame Punkte des Graphen mit den Koordinatenachsen
> sind P1 (-5|0) P2 (-1|0) und P3 (0|2,5)
Da sind quasi die Nullstellen (x=-5 und x=-1) gegeben sowie der Schnitt mit der y-Achse.
Daher arbeitest Du am besten mit dem Ansatz
f(x) = a*(x + 5)(x + 1)
Vorteil: Die Nullstellen sind schon mal "verarbeitet".
Jetzt musst Du nur noch a ausrechnen, wozu Dir der Ansatz: f(0) = 2,5 hilft.
(Als Kontrolle: a = 0,5)
>
> b) Der Graph hat mit den Koordinatenachsen nur die Punkte
> P2 (2|0) und P2 (0|-8) gemeinsam.
Das "nur" heißt in dem Fall, dass es "nur" die Nullstelle x=2 gibt. Logische Folgerung: Die muss doppelt sein!
Mit analogem Ansatz wie bei a) kriegst Du diesmal
f(x) = a*(x - [mm] 2)^{2}
[/mm]
und berechnest das a wie oben!
(Zur Kontrolle: a = -2)
>
> c) Zwischen den Stellen 4 und 6 (und nur dort) verläuft der
> Graph unterhalb der 1. Achse. Die Gerade mit der Gleichung
> y= -2 berührt den Graphen.
Das heißt: Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat die Nullstellen x=4 und x=6.
Da der Scheitel "genau in der Mitte" zwischen den Nullstellen liegen muss, hat er die x-Koordinate 5 (Mitte zwischen 4 und 6).
Die Gerade y=-2 ist WAAGRECHT. Die einzige Waagrechte aber, die den Graphen berühren kann, ist die Tangente im SCHEITEL.
Demnach hat der Scheitel die y-Koordinate y=-2.
Scheitel insgesamt: S(5;-2)
Ansatz wieder analog zu oben:
f(x) = a*(x - 4)(x - 6).
Diesmal aber musst Du die Scheitelkoordinaten zur Berechnung von a hernehmen:
f(5) = -2.
(Zur Kontrolle: a = 2)
>
> d)Die Funktion f nimmt an der Stelle -1 den Extremwert 2
> an. An der Stelle 0 hat sie den Wert 5.
>
Wenn Du mit der Scheitelform arbeitest, also:
f(x) = a*(x - [mm] x_{s})^{2} [/mm] + [mm] y_{s},
[/mm]
hast Du's am schnellsten:
f(x) = a*(x [mm] +1)^{2} [/mm] + 2.
Berechnung von a analog zu oben: f(0) = 5
(Zur Kontrolle: a = 3)
> Gib den Funktionsterm in der Form f (x) = ax²+bx+c an.
Na gut! Dann musst Du die obigen Terme halt noch ausmultiplizieren!
Das schaffst Du sicher alleine!
>
> Okay. Nun verstehe ich gar nicht genau was die von mir
> wollen.
> Ich fange hier mal an wie ich's bei mir gemacht habe.
>
> Bei a.) habe ich die Koordinaten der Punkte einfach in so
> eine Matrix eingesetzt um die Variablen für a,b sowie c
> rauszubekommen. Das ist auch gut aufgegangen und hat
> geklappt. Aber irgendwie würde das nicht schon reichen?
> Weil dann habe ich doch schon einen Funktionterm in der
> Form f (x) = ax²+bx+c an.
Stimmt! Ist aber im Vergleich zu meinerm Lösungsvorschlag etwas umständlicher!
>
> Bei b.) Habe ich dann einfach die Steigung m ausgerechnet,
> ich weiß nicht wieso aber habe ich gemacht +g+. Ist es so
> das hier eine Parabel und eine Gerade vorkommen oder nur
> eine Parabel? Weil dann ist hier ja schon mein fehler, da m
> ausrechnen dann ja wohl gar nichts bringt.
Naja: Du weißt ja, dass die Tangente an den Graphen bei x=2 waagrecht sein muss (Steigung m=0) und hast demnach die Gleichungen:
I. f(2) = 0
II. f'(2) = 0 (m = 0!!)
III. f(0) = -8
Damit kommst Du natürlich auch zum Ziel!
>
> Bei c.) Weiß ich überhaupt nicht mehr weiter, hoffe da
> könnt ihr mir irgendeinen Tipp geben.
Wenn Du auch hier mit Gleichungssystem arbeiten willst, dann:
I. f(4) = 0
II. f(6) = 0
III. f(5) = -2
(Zur letzten Gleichung siehe meinen obigen Lösungsvorschlag!)
> Genau wie bei d.).
> Bitte gebt mir einen Tipp, sagt nicht alles, aber so ein
> Tipp wie ich darauf kommen könnte ;) Werde danach noch mal
> meine Lösung hier reinschreiben zur Kontrolle.
Auch hier der Ansatz zum Gleichungssystem:
I. f(-1) = 2
II. f'(-1) = 0 (Extremwerteigenschaft!)
III. f(0) = 5
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Nikia |
ich hab grad die aufgabe durchgerechnet und mir is eine sache unklar die mich aber daran hindert weiterzudenken ;)
ich würde gerne wissen ob sich die angaben von a) b) c) und d) auf einen graphen bzw eine funktion beziehen oder es sich immer um die selbe handelt, letzteres erscheint mir komisch bzw unlogisch, jedoch is ja eigentlich nach einem funktionsterm gefragt...
Gib den Funktionsterm in der Form f (x) = ax²+bx+c an
wie is das gemeint?
Nikia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nikia!
Bei diesen Aufgaben handelt es sich tatsächlich um verschiedene Aufgaben.
Es soll also jeweils eine Funktion in der Form $f(x) \ = \ [mm] ax^2+bx+c$ [/mm] ermittelt werden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Kristof |
> > d)Die Funktion f nimmt an der Stelle -1 den Extremwert 2
> > an. An der Stelle 0 hat sie den Wert 5.
> >
>
> Wenn Du mit der Scheitelform arbeitest, also:
> f(x) = a*(x - [mm]x_{s})^{2}[/mm] + [mm]y_{s},[/mm]
> hast Du's am schnellsten:
>
> f(x) = a*(x [mm]+1)^{2}[/mm] + 2.
> Berechnung von a analog zu oben: f(0) = 5
> (Zur Kontrolle: a = 3)
Ja habe auch für a 3 rausgefunden. Aber wie forme ich die Scheitelpunktform wieder zur normalen Quadratischen Funktion um?
Also habe jetzt f(x) 3*(x+1)² +2
Wie bekomm ich das jetzt in der art von : f(x) =a*x²+b*x+c?
> > Gib den Funktionsterm in der Form f (x) = ax²+bx+c an.
>
> Na gut! Dann musst Du die obigen Terme halt noch
> ausmultiplizieren!
Okay, wie mach ich das? Ausmutiplizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Das Stichwort "ausmultiplizieren" hast Du ja bereits selbst geliefert ...
$y \ = \ [mm] 3*(x+1)^2 [/mm] + 2$
Für die Klammer wenden wir nun eine  binomische Formel an:
$y \ = \ [mm] 3*\left(x^2+2x+1\right) [/mm] + 2 \ = \ ...$
Nun noch den Faktor $3_$ in die Klammer multiplizieren und anschließend zusammenfassen.
Dann erhältst Du auch die Form $y \ = \ [mm] ax^2+bx+c$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Kristof |
Hallo,
Habe es nun mal gerechnet.
Nun gibt es aber noch ein Problem.
Z.b bei b.)
Habe ja ausgerechnet a = -2
Demnach würde die form wie folgt aussehen :
f (x) = a*(x-2)²
f (x) = -2*(x-2)²
Okay, soweit alles klar, und auch im GTR nachgeprüft. Aber die Aufgabe verlangt es ja in die Form zu bringen :
f (x) = a*x²+bx+c
Also habe ich es einfach Ausmultipliziert (ist ja eine Binomische Formel also = a² -2ab +b²)
Käme dann zu dem Ergebnis :
f (x) = -2x²-4x+4
Wenn ich f (x) = -2x²-4x+4 eingebe zeigt mir der GTR aber eine ganz andere Parabel an, als wenn ich f (x) = -2*(x-2)² eingebe.
Woran liegt das? Ähnlich ist es bei Aufgabe c.). Ist ein ähnliches Prinzip, aber wenn ich es in der Form f (x) = ax²+bx+c eingebe kommt ebenfalls eine andere Parabell raus.
Woran liegt das?
Ist das norma?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Du musst bei Anwendung der binomischen Formel zunächst noch Klammern setzen!!
$f(x) \ = \ [mm] -2*(x-2)^2 [/mm] \ = \ -2 * \ [mm] \red{\left(} [/mm] \ [mm] x^2 [/mm] - 4x + 4 \ [mm] \red{\right)} [/mm] \ = \ [mm] -2x^2 [/mm] + 8x - 8$
Gruß
Loddar
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