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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mi 24.11.2010 | | Autor: | gerani |
| Aufgabe | [mm] x^4 +(2-n)x^3 [/mm] + [mm] (2-2n)x^2+(2-n)x+1=0
[/mm]
[mm] n\in \IR^+
[/mm]
Ab welchem Wert von n gibt es reelle, positive Nullstellen?
Bestimmte die reellen, positiven Nullstellen in Abhängigkeit von n. |
Hi zusammen.
Ich sehe sofort, dass es für [mm] n\le1 [/mm] auf jeden Fall nur komplexe Lösungen gibt. Dann gibt es 2 reelle und 2 konjugiert komplexe Lösungen und dann ist glaube ich bei n=2 die Grenze, wo es dann nur reelle gibt (das hab ich durch Ausprobieren gefunden), zwei positive und zwei negative. Wie kann ich diese Lösungen ausrechnen? Wie gesagt, bin besonders an den positiven interessiert.
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße!
Gerani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gerani!
Mit etwas Probieren erhält man als Nullstelle des Polynoms den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ ; und das gleich als doppelte Nullstelle.
Führe also zweimal die  Polynomdivision durch $(x+1)_$ durch; oder gar gleich durch [mm] $\left(x^2+2x+1\right)$ [/mm] .
Damit erhältst Du einen quadratischen Term, der sich ungleich leichter händeln und untersuchen lässt.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo gerani,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]x^4 +(2-n)x^3[/mm] + [mm](2-2n)x^2+(2-n)x+1=0[/mm]
>
> [mm]n\in \IR^+[/mm]
>
> Ab welchem Wert von n gibt es reelle, positive
> Nullstellen?
> Bestimmte die reellen, positiven Nullstellen in
> Abhängigkeit von n.
> Hi zusammen.
>
> Ich sehe sofort, dass es für [mm]n\le1[/mm] auf jeden Fall nur
> komplexe Lösungen gibt. Dann gibt es 2 reelle und 2
> konjugiert komplexe Lösungen und dann ist glaube ich bei
> n=2 die Grenze, wo es dann nur reelle gibt (das hab ich
> durch Ausprobieren gefunden), zwei positive und zwei
> negative. Wie kann ich diese Lösungen ausrechnen? Wie
> gesagt, bin besonders an den positiven interessiert.
>
> Hat jemand eine Idee?
Kandidaten für mögliche Nullstellen sind zunächst
die Teiler des Absolutgliedes, hier also [mm]\pm 1[/mm].
Untersuche, ob dieses Polynom eine oder beide dieser
Nullstellen besitzt. Weiterhin kannst Du feststellen,
ob diese Nullstellen von n abhängen oder nicht.
>
> Viele Grüße!
>
> Gerani
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | gerani |
Lieber Roadrunner & MathePower,
vielen Dank für Eure tollen, schnellen Antworten! Ich habe die Polynomdivision gemacht und es kam
[mm] x^2-nx+1
[/mm]
raus. Das heisst also die Nullstellen sind
[mm] x_{1,2}=\bruch{n}{2}\pm\bruch{1}{2}\wurzel(n^2-4)
[/mm]
und da [mm] \bruch{n}{2}>\bruch{1}{2}\wurzel(n^2-4)
[/mm]
sind die sogar immer positiv! (oder?) Also die einzigen negativen ist die doppelte -1.
Was sagt ihr?
Viele Grüße!
Gerani
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