Quadratische Gleichungen mit Z < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Löse folgende quadratische Gleichung.
[mm] 4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0 [/mm] |
Da Z ja eine komplexe Zahl ist die sich wie folgt zusammensetzt z=a+bi
habe ich das einfach eingesetzt und versucht damit weiter zu rechnen.
[mm] 4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0
[/mm]
[mm] 4*(a+bi)^2-5\bruch{1}{3}(a+bi)+8=0
[/mm]
[mm] 4*(a^2-b^2+2abi)+(-\bruch{5}{3}a-\bruch{5}{3}bi)+8=0
[/mm]
stimmt das soweit?
Leider keine richtige Idee was ich jetzt machen muss.
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> Löse folgende quadratische Gleichung.
> [mm]4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0[/mm]
>
> Da Z ja eine komplexe Zahl ist die sich wie folgt
> zusammensetzt z=a+bi
> habe ich das einfach eingesetzt und versucht damit weiter
> zu rechnen.
>
> [mm]4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0[/mm]
>
> [mm]4*(a+bi)^2-5\bruch{1}{3}(a+bi)+8=0[/mm]
>
> [mm]4*(a^2-b^2+2abi)+(-\bruch{5}{3}a-\bruch{5}{3}bi)+8=0[/mm]
>
> stimmt das soweit?
> Leider keine richtige Idee was ich jetzt machen muss.
Verwende die abc-Formel um die Lösungne zu finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Stimmt den meine bisherige Lösung?
Wie kann ich denn die ABC Formel hier rauf anwenden?
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> Stimmt den meine bisherige Lösung?
> Wie kann ich denn die ABC Formel hier rauf anwenden?
Es gibt hier zwei Möglichkeiten:
1. Du wendest auf die quadratische Gleichung schlicht die bekannte Lösungsformel (ob jetzt in abc- oder in pq-Version) an. Eine q.G. in [mm] $\IC$ [/mm] hat ja genau zwei Lösungen, d.h. du bekommst entweder zwei reelle Lösungen oder eine doppelte reelle Lösung oder die beiden zueinander komplex-konjugierten nicht reellen Lösungen.
2. Etwas aufwändiger, dafür aber auch an anderen Stellen einsetzbar gehst du deinen bereits begonnenen Weg weiter, sortierst nach Vielfachen von $i$ und dem Rest. Rechts in deiner Gleichung steht die 0, links dann etwa $Term1 + Term2 * i$ und dann muss $Term1 = 0$ und $Term2 = 0$ sein, damit die Gleichung stimmt. Realteil und Imaginärteil müssen beide 0 werden, damit die gesamte Zahl 0 gibt. Dann hast du zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten $a$ und $b$, aus denen du sie ermitteln kannst.
Du kannst für dieses einfache Beispiel ja mal beides machen und solltest zu den selben Ergebnissen kommen.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
[mm] 4*a^2-\bruch{5}{3}a+8abi-\bruch{5}{3}bi+8=0
[/mm]
[mm] 4a^1-\bruch{5}{3}a+(8a-\bruch{5}{3})bi+8=0
[/mm]
Das müsste doch auch stimmen richtig?
Was muss ich jetzt tun um a und b zu bestimmen?
Das ist für mich gerade nicht offensichtlich.
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> [mm]4*a^2-\bruch{5}{3}a+8abi-\bruch{5}{3}bi+8=0[/mm]
>
> [mm]4a^1-\bruch{5}{3}a+(8a-\bruch{5}{3})bi+8=0[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies kann nicht stimmen. Z.B. ist das [mm] b^2 [/mm] verschwunden ...
> Was muss ich jetzt tun um a und b zu bestimmen?
> Das ist für mich gerade nicht offensichtlich.
Hallo coxy,
ich würde mir das Leben etwas einfacher machen,
z.B. durch geeignetes Erweitern und Kürzen.
Die Gleichung war, mit Realteil a und Imaginärteil b
notiert:
$ [mm] 4\cdot{}(a+bi)^2-5\bruch{1}{3}(a+bi)+8=0 [/mm] $
Erweitere diese Gleichung zuerst mit 3 (um den Nenner 3
loszuwerden).
Dann kannst du sehen, dass es gleich sinnvoll und
nützlich sein wird, wieder zu kürzen, nämlich mit 4.
(--> kleinere Faktoren, angenehmeres Rechnen !)
Dann multipliziere alles komplett aus, vereinfache
so weit möglich und separiere die imaginären von
den reellen Anteilen. Damit kommst du zu einer
Gleichung der Form
$\ Q(a,b)\ +\ i*\ L(a,b)\ =\ 0$
(hier habe ich Q und L für den quadratischen und
für den linearen Term gesetzt, die man erhält)
Diese eine komplexe Gleichung kann man nun in
ein Gleichungssystem
$\ Q(a,b)\ =\ [mm] 0\quad\wedge\quad [/mm] L(a,b)\ =\ 0$
aus einer quadratischen und einer linearen Gleichung
zerlegen. (Weshalb genau ??)
Die Gleichung $\ L(a,b)\ =\ 0$ lässt sich leicht nach b
auflösen, wobei man zwei Lösungen erhält. Einsetzen
dieser Lösungen in die Gleichung $\ Q(a,b(a))\ =\ 0$
liefert dann jeweils eine Gleichung für a.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Hallo
mir ist immer noch nicht schlüssig was ich gerade tun soll.
Ich habe mein bisheriges Ergebnis überprüft und korrigiert.
Ich erhalte jetzt:
[mm] 12a^2-5a-12b^2+(24a-5)bi+24=0
[/mm]
1) sehe ich nicht wo es nicht macht wieder durch 4 zu teilen
2) Weiß ich nicht wie ich a und b bestimmen soll.
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Hallo Coxy,
> Hallo
> mir ist immer noch nicht schlüssig was ich gerade tun
> soll.
> Ich habe mein bisheriges Ergebnis überprüft und
> korrigiert.
> Ich erhalte jetzt:
>
> [mm]12a^2-5a-12b^2+(24a-5)bi+24=0[/mm]
>
> 1) sehe ich nicht wo es nicht macht wieder durch 4 zu
> teilen
>
Das macht auch keinen Sinn.
> 2) Weiß ich nicht wie ich a und b bestimmen soll.
Löse das Gleichungssystem
[mm]\[12\,{a}^{2}-5\,a-12\,{b}^{2}+24=0\][/mm]
[mm]\[\left( 24\,a-5\right) \,b=0\][/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Das hat mir sehr geholfen :)
aber
1) Wo ist das i in der Gleichung? bzw. Warum ist es weg?
2) Wie kommt zu diesen Gleichungen bzw. wieso darf man die so aufstellen?
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Hallo Coxy,
> Das hat mir sehr geholfen :)
> aber
> 1) Wo ist das i in der Gleichung? bzw. Warum ist es weg?
> 2) Wie kommt zu diesen Gleichungen bzw. wieso darf man die
> so aufstellen?
Die Gleichung wurde in Real- und Imaginärteil aufgeteilt,
daher ist das "i" weg.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich habe versucht einfach aus deinen Gleichungen weiter zu rechnen aber ich komme auf sehr krumme Zahlen:
[mm] a=\bruch{5}{24}
[/mm]
und für
b= [mm] \wurzel{\bruch{1127}{576}}
[/mm]
Was mich vermuten lässt das es falsch ist.
Gibt es keine Seite wo es kurz und bündig und vielleicht sogar mit ein paar Beispielen erklärt wird?
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Hallo Coxy,
> Ich habe versucht einfach aus deinen Gleichungen weiter zu
> rechnen aber ich komme auf sehr krumme Zahlen:
> [mm]a=\bruch{5}{24}[/mm]
> und für
> b= [mm]\wurzel{\bruch{1127}{576}}[/mm]
>
Nun, für b gibt es zwei Lösungen:
[mm]b= \blue{\pm}\wurzel{\bruch{1127}{576}}[/mm]
> Was mich vermuten lässt das es falsch ist.
Nein, Deine errechneten Werte sind richtig.
> Gibt es keine Seite wo es kurz und bündig und vielleicht
> sogar mit ein paar Beispielen erklärt wird?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
Das hier ist Aufgabe b)
[mm] -\bruch{2}{3}z^2+\bruch{1}{6}z-2=0
[/mm]
ich habe für
[mm] a=\bruch{1}{8} [/mm]
b1= [mm] \bruch{\wurzel{191}}{8}
[/mm]
b2= [mm] -\bruch{\wurzel{191}}{8}
[/mm]
Meine Nullstellen sind also [mm] \bruch{1}{8}+\bruch{\wurzel{191}}{8}i [/mm] und
[mm] \bruch{1}{8}-\bruch{\wurzel{191}}{8}i
[/mm]
stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 So 10.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Ergebnis ist richtig. Warum machst du es nicht wie mit einer reellen Gleichung, quadratische ergänzung oder pq Formel. das ist schneller und hat sicher weniger Fehlermöglichkeiten
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
ich wollte gerne Üben mit komplexen Zahlen zu arbeiten :)
Vielen Dank für die Kontrolle meines Ergebnisses
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Mo 11.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
unnötig kompliziert zu rechnen macht aber nicht die Übung aus, wichtig ist direkt mit den kZ umzugehen, und nicht immer auf die Zerlegung.
Gruss leduart
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> Wie kann ich denn die ABC Formel hier rauf anwenden?
Die Gleichung $ [mm] 4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0 [/mm] $
ist doch eine ganz gewöhnliche quadratische Gleichung
mit reellen Koeffizienten. Erst bei den Lösungen
ergeben sich auch nicht-reelle Anteile, aber auf die
einfachste mögliche Art, die kaum wirkliches Rechnen
mit komplexen Zahlen erfordert.
Beispiel:
Die Gleichung [mm] z^2=-5 [/mm] hat die Lösungen
[mm] z_1=i*\sqrt{5} [/mm] und [mm] z_2=-i*\sqrt{5}
[/mm]
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 10.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Löse folgende quadratische Gleichung.
> [mm]4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0[/mm]
Hallo,
es besteht keine Notwendigkeit, sofort in Real- und Imagiärteil aufzuspalten.
Division durch 4 liefert
[mm]z^2-\frac43 z+2=0[/mm]
[mm]z= \frac23 \pm\sqrt{ \frac{4}{9}-2}[/mm]
[mm]z= \frac23 \pm\sqrt{ -\frac{14}{9}}[/mm]
[mm]z= \frac23 \pm\sqrt{ (-1)*\frac{14}{9}}[/mm]
Das ergibt [mm]z= \frac23 \pm i*\frac{\sqrt{ 14}}{3}[/mm].
Gruß Abakus
>
> Da Z ja eine komplexe Zahl ist die sich wie folgt
> zusammensetzt z=a+bi
> habe ich das einfach eingesetzt und versucht damit weiter
> zu rechnen.
>
> [mm]4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0[/mm]
>
> [mm]4*(a+bi)^2-5\bruch{1}{3}(a+bi)+8=0[/mm]
>
> [mm]4*(a^2-b^2+2abi)+(-\bruch{5}{3}a-\bruch{5}{3}bi)+8=0[/mm]
>
> stimmt das soweit?
> Leider keine richtige Idee was ich jetzt machen muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 10.11.2013 | | Autor: | Coxy |
deine Werte für a und b unterscheiden sich aber von meinen,
was stimmt denn nun bzw. wie kommt das zu Stande?
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Hallo Coxy,
> deine Werte für a und b unterscheiden sich aber von
> meinen,
> was stimmt denn nun bzw. wie kommt das zu Stande?
Das liegt an der Interpretation des Faktors
[mm]5\bruch{1}{3}[/mm]
Dieser Faktor kann jetzt als
[mm]5\blue{+}\bruch{1}{3}[/mm] oder [mm]5\blue{*}\bruch{1}{3}[/mm]
interpretiert werden.
Gruss
MathePower
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> Hallo Coxy,
>
> > deine Werte für a und b unterscheiden sich aber von
> > meinen,
> > was stimmt denn nun bzw. wie kommt das zu Stande?
>
>
> Das liegt an der Interpretation des Faktors
>
> [mm]5\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Dieser Faktor kann jetzt als
>
> [mm]5\blue{+}\bruch{1}{3}[/mm] oder [mm]5\blue{*}\bruch{1}{3}[/mm]
>
> interpretiert werden.
Hallo MathePower,
da hast du natürlich Recht. Eigentlich hasse ich
die gemischte Schreibweise von Brüchen wie z.B.
$\ [mm] 2\,\frac{1}{2}$ [/mm] anstelle von $\ 2+ [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
schon seit sehr langer Zeit, und zwar aus guten
mathematischen Gründen, weil man andererseits
die bloße Nebeneinanderstellung von Termen und
Variablen wie z.B. in 3 a oder a b oder [mm] 2\sqrt{2}
[/mm]
stets als Multiplikation interpretiert.
Nach meinem Geschmack sollte man diese äußerst
verwirrliche Schreibweise von "gemischten Brüchen"
möglichst als ungeeignet deklarieren und allmählich
ausmerzen.
Vielleicht sollten wir uns allenfalls auch angewöhnen,
anstatt "zweieinhalb Kilo Äpfel" zu sagen "zwei und ein
halb(es) Kilo Äpfel" oder meinetwegen "zweiundeinhalb ..."
Renovationen der Sprachgewohnheiten scheinen
allerdings schwer zu fallen, so wie z.B. die Initiative
"zwanzigeins" bisher nicht sehr erfolgreich war.
http://de.wikipedia.org/wiki/Zwanzigeins
http://www.verein-zwanzigeins.de
Allerdings habe ich im vorliegenden Beispiel nicht
gezögert, die gegebene Gleichung
$ [mm] 4z^2-5\bruch{1}{3}z+8=0 [/mm] $
zu interpretieren als:
$ [mm] 4z^2-\left(5+\bruch{1}{3}\right)*z+8=0 [/mm] $
(denn welcher Dummkopf würde denn, wenn der
Faktor vor dem z effektiv [mm] \bruch{5}{3} [/mm] sein sollte,
diesen als [mm] 5*\bruch{1}{3} [/mm] schreiben wollen ...
(aber gut, man kann ja leider nie so recht wissen,
welcher Sorte von Dummheiten Andere frönen mögen ...)
LG , Al
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