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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:15 Mi 19.11.2014 | | Autor: | David15 |
| Aufgabe | Gegeben ist das folgende nichtlineare Problem:
min [mm] f(x)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}
[/mm]
s.d. [mm] x_{1}-2x_{2}\ge{-7}
[/mm]
[mm] 2x_{1}+x_{2}\le{5}
[/mm]
[mm] x_{1},x_{2}\ge{0}
[/mm]
(a) Geben Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen für obiges Problem in der Formulierung als Sattelpunkt der Lagrange-Funktion an.
(b) Überprüfen Sie, ob der Punkt [mm] P=(2;5)^{T} [/mm] ein Sattelpunkt ist. |
Hallo,
ich würde gerne wissen, wie ich in Aufgabenteil (b) vorgehe. Ich habe das Problem zunächst in die Normalform überführt und dann Aufgabenteil (a) wie folgt gelöst:
Lagrange-Funktion:
[mm] L(x,u)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)+u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)
[/mm]
Notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines Sattelpunktes:
[mm] L_{x}(x,u)=\vektor{2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2} \\ 2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2}}\ge0
[/mm]
[mm] L_{u}(x,u)=\vektor{-x_{1}+2x_{2}-7 \\ 2x_{1}+x_{2}-5}\le0
[/mm]
[mm] x_{1}*(2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2})=0
[/mm]
[mm] x_{2}*(2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2})=0
[/mm]
[mm] u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)=0
[/mm]
[mm] u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)=0
[/mm]
[mm] x_{1},x_{2},u_{1},u_{2}\ge0
[/mm]
Nun zum Aufgabenteil (b). Im Skript habe ich gelesen, dass ein Punkt [mm] (x_{o},u_{0}) [/mm] Sattelpunkt von L(x,u) heißt, wenn gilt:
[mm] L(x_{0},u)\le{L}(x_{0},u_{0})\le{L}(x,u_{0})\forall{x}\in\IR^{n},x\ge0,\forall{u}\in\IR^{m},u\ge0
[/mm]
Ich würde nun gerne wissen, ob ich mit dieser Formel nachweisen kann, ob es sich beim vorliegenden Punkt um einen Sattelpunkt handelt. Was muss ich dann aber für u einsetzen? Aus den Nebenbedingungen erhalte ich diese zu
[mm] u_{1}=-\bruch{8}{5} [/mm] und [mm] u_{2}=-\bruch{4}{5}
[/mm]
berechnen. Das würde dann aber die Nichtnegativitätsbedingungen verletzen. Wie würdet ihr an das Problem herangehen. Danke schon mal für eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Fr 21.11.2014 | | Autor: | David15 |
Hallo zusammen!
Eine Antwort zu meiner Frage würde mich nach wie vor interessieren.
Vielen Dank und viele Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Mo 24.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo David15,
> Gegeben ist das folgende nichtlineare Problem:
>
> min [mm]f(x)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}[/mm]
>
> s.d. [mm]x_{1}-2x_{2}\ge{-7}[/mm]
>
> [mm]2x_{1}+x_{2}\le{5}[/mm]
>
> [mm]x_{1},x_{2}\ge{0}[/mm]
>
>
> (a) Geben Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen für obiges
> Problem in der Formulierung als Sattelpunkt der
> Lagrange-Funktion an.
>
> (b) Überprüfen Sie, ob der Punkt [mm]P=(2;5)^{T}[/mm] ein
> Sattelpunkt ist.
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, wie ich in Aufgabenteil (b)
> vorgehe. Ich habe das Problem zunächst in die Normalform
> überführt und dann Aufgabenteil (a) wie folgt gelöst:
>
>
> Lagrange-Funktion:
>
> [mm]L(x,u)=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)+u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)[/mm]
>
> Notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines
> Sattelpunktes:
>
> [mm]L_{x}(x,u)=\vektor{2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2} \\ 2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2}}\ge0[/mm]
>
> [mm]L_{u}(x,u)=\vektor{-x_{1}+2x_{2}-7 \\ 2x_{1}+x_{2}-5}\le0[/mm]
>
> [mm]x_{1}*(2x_{1}-4-u_{1}+2u_{2})=0[/mm]
>
> [mm]x_{2}*(2x_{2}-6+2u_{1}+u_{2})=0[/mm]
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> [mm]u_{1}*(-x_{1}+2x_{2}-7)=0[/mm]
>
> [mm]u_{2}*(2x_{1}+x_{2}-5)=0[/mm]
>
> [mm]x_{1},x_{2},u_{1},u_{2}\ge0[/mm]
>
>
> Nun zum Aufgabenteil (b). Im Skript habe ich gelesen, dass
> ein Punkt [mm](x_{o},u_{0})[/mm] Sattelpunkt von L(x,u) heißt, wenn
> gilt:
>
> [mm]L(x_{0},u)\le{L}(x_{0},u_{0})\le{L}(x,u_{0})\forall{x}\in\IR^{n},x\ge0,\forall{u}\in\IR^{m},u\ge0[/mm]
>
>
> Ich würde nun gerne wissen, ob ich mit dieser Formel
> nachweisen kann, ob es sich beim vorliegenden Punkt um
> einen Sattelpunkt handelt. Was muss ich dann aber für u
> einsetzen? Aus den Nebenbedingungen erhalte ich diese zu
>
> [mm]u_{1}=-\bruch{8}{5}[/mm] und [mm]u_{2}=-\bruch{4}{5}[/mm]
>
> berechnen. Das würde dann aber die
> Nichtnegativitätsbedingungen verletzen. Wie würdet ihr an
> das Problem herangehen. Danke schon mal für eure Hilfe.
>
>
Der Punkt $P = [mm] (2;5)^T$ [/mm] verletzt die Nebenbedingungen [mm] $x_1-2x_2 \ge [/mm] -7$ und
[mm] $2x_1 +x_2 \le [/mm] 5$ (2-2*5 = -8 < -7, 2*2+5 = 9 > 5).
Kann so ein Punkt überhaupt Sattelpunkt des nichtlinearen Problems sein?
Gruß
meili
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