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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 27.04.2010 | | Autor: | pitta |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IZ [/mm] \ {0,1} seien [mm] \wurzel{n} \in \IR_{\ge 0} \subseteq \IC [/mm] für n > 0, und [mm] \wurzel{n} [/mm] = i * wurzel{|n|} [mm] \in \IC [/mm] für n < 0.
Weiter seien R:= [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] := { [mm] x+y\wurzel{n} \in \IC;x,y \in \IZ [/mm] } und Q:= [mm] \IQ[\wurzel{n}] [/mm] := { [mm] x+y\wurzel{n} \in \IC;x,y \in \IQ [/mm] }.
Man zeige:
a) In der Darstellung von [mm] x+y\wurzel{n} \in [/mm] Q sind die Koeffizienten x,y [mm] \in \IQ [/mm] eindeutig bestimmt.
Es sind R [mm] \subseteq [/mm] Q [mm] \subseteq \IC [/mm] Teilringe, und R und Q sind Integritätsbereiche.
Außerdem istr Q ein [mm] \IQ-Vektorraum, [/mm] man bestimme [mm] dim_{\IQ}(Q)
[/mm]
b) Es ist R kein Körper, aber Q ist ein Körper.
Außerdem ist Q der Quotientenkörper Q(R) von R. |
Hallo,
Zu a)
Zur Eindueitgkeit der Koffeizienten von Q: Reicht es zu sagen, dass (x,y) -->x+y [mm] \wurzel{n} [/mm] eine injektive Abbildung ist, also aus x+y [mm] \wurzel{n} [/mm] = w+z [mm] \wurzel{n} [/mm] muss direkt x=q und y=z folgen?
Bei den Teilringen: Reicht es da (ähnlich wie bei VR) zu zeigen, dass R und Q Teilmengen sind und dass sie bzgl. den beiden Verknüpfungen abgeschlossen sind?
Integritätsbereiche: ok, Kommutativiät ist leicht: und bei Nullteilerfreiheit, kann man argumentieren, dass [mm] \IZ und\IQ [/mm] nullteilerfrei sind?
Zur Dimension: Ist die 2? [mm] {x+0*\wurzel{n} , 0+ y*\wurzel{n}} [/mm] Basis?
Zu b) R ist kein Körper, weil es z.B. zu [mm] 2+0*\wurzel{n} [/mm] kein multiplikatives Inverses gibt? Wie sieht das multiplikative für ein bel. Element aus Q aus?
Aus der Tatsache, dass Q Körper ist und dass Q Obermenge von R ist folgt doch direkt, dass Q der Quotientenkörper ist, oder?
Danke für die Mithilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:28 Mi 28.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für n [mm]\in \IZ[/mm] \ {0,1} seien [mm]\wurzel{n} \in \IR_{\ge 0} \subseteq \IC[/mm]
> für n > 0, und [mm]\wurzel{n}[/mm] = i * wurzel{|n|} [mm]\in \IC[/mm] für n
> < 0.
>
> Weiter seien R:= [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]x+y\wurzel{n} \in \IC;x,y \in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und Q:= [mm]\IQ[\wurzel{n}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]x+y\wurzel{n} \in \IC;x,y \in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }.
> Man zeige:
> a) In der Darstellung von [mm]x+y\wurzel{n} \in[/mm] Q sind die
> Koeffizienten x,y [mm]\in \IQ[/mm] eindeutig bestimmt.
> Es sind R [mm]\subseteq[/mm] Q [mm]\subseteq \IC[/mm] Teilringe, und R und Q
> sind Integritätsbereiche.
> Außerdem istr Q ein [mm]\IQ-Vektorraum,[/mm] man bestimme
> [mm]dim_{\IQ}(Q)[/mm]
>
> b) Es ist R kein Körper, aber Q ist ein Körper.
> Außerdem ist Q der Quotientenkörper Q(R) von R.
> Hallo,
>
> Zu a)
> Zur Eindueitgkeit der Koffeizienten von Q: Reicht es zu
> sagen, dass (x,y) -->x+y [mm]\wurzel{n}[/mm] eine injektive
> Abbildung ist, also aus x+y [mm]\wurzel{n}[/mm] = w+z [mm]\wurzel{n}[/mm]
> muss direkt x=q und y=z folgen?
Na, genau das sollst du zeigen! Beachte, dass [mm] $\IQ^2 \to \IC$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] x + y [mm] \sqrt{n}$ [/mm] eine [mm] $\IQ$-lineare [/mm] Abbildung ist. Du musst also zeigen, dass $1$ und [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] linear unabhaengig (ueber [mm] $\IQ$!) [/mm] sind, damit diese Abbildung injektiv ist.
> Bei den Teilringen: Reicht es da (ähnlich wie bei VR) zu
> zeigen, dass R und Q Teilmengen sind und dass sie bzgl. den
> beiden Verknüpfungen abgeschlossen sind?
Ja. Bei $Q$ musst du auch noch auf Inverse achten.
> Integritätsbereiche: ok, Kommutativiät ist leicht: und
> bei Nullteilerfreiheit, kann man argumentieren, dass [mm]\IZ und\IQ[/mm]
> nullteilerfrei sind?
Benutze lieber, dass [mm] $\IC$ [/mm] nullteilerfrei ist. Dass [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IQ$ [/mm] nullteilerfrei sind hilft dir hier nicht so sehr weiter.
> Zur Dimension: Ist die 2? [mm]{x+0*\wurzel{n} , 0+ y*\wurzel{n}}[/mm]
> Basis?
Die Dimension ist 2. Aber du musst schon was konkretes fuer $x$ und $y$ einsetzen, um an eine Basis zu kommen.
> Zu b) R ist kein Körper, weil es z.B. zu [mm]2+0*\wurzel{n}[/mm]
> kein multiplikatives Inverses gibt?
Exakt. Und nun beweise dies.
> Wie sieht das multiplikative für ein bel. Element aus Q aus?
Nun, es ist doch $(a + b [mm] \sqrt{n}) [/mm] (a - b [mm] \sqrt{n}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - n [mm] b^2 \in \IQ$, [/mm] wenn $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] sind. Wann ist [mm] $a^2 [/mm] - n [mm] b^2 [/mm] = 0$? Kannst du dir damit ein Inverses von $a + b [mm] \sqrt{n}$ [/mm] basteln, wenn nicht gerade $a = b = 0$ ist?
> Aus der Tatsache, dass Q Körper ist und dass Q Obermenge
> von R ist folgt doch direkt, dass Q der Quotientenkörper
> ist, oder?
Naja, [mm] $\IC$ [/mm] ist auch ein Koerper, der $R$ enthaelt. Du musst zeigen, dass $Q$ der kleinste Koerper ist, der $R$ enthaelt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mi 28.04.2010 | | Autor: | pitta |
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> Na, genau das sollst du zeigen! Beachte, dass [mm]\IQ^2 \to \IC[/mm],
> [mm](x, y) \mapsto x + y \sqrt{n}[/mm] eine [mm]\IQ[/mm]-lineare Abbildung
> ist. Du musst also zeigen, dass [mm]1[/mm] und [mm]\sqrt{n}[/mm] linear
> unabhaengig (ueber [mm]\IQ[/mm]!) sind, damit diese Abbildung
> injektiv ist.
Ah ok, damit man das eine nicht mit dem anderen ausdrücken kann?
[mm]1[/mm] und [mm]\sqrt{n}[/mm] sind ja allein deswegen lin. unabh., weil [mm]\sqrt{n}[/mm] [mm] \in \IR [/mm] sein kann und weil das eine [mm] \IQ-lineare [/mm] Abbildung ist, man ein solches Element nicht durch 1 erzeugen kann?
>
> > Bei den Teilringen: Reicht es da (ähnlich wie bei VR) zu
> > zeigen, dass R und Q Teilmengen sind und dass sie bzgl. den
> > beiden Verknüpfungen abgeschlossen sind?
>
> Ja. Bei [mm]Q[/mm] musst du auch noch auf Inverse achten.
>
Meinst du das additive Inverse? Weil für die RIngeigenschaft braucht man ja kein multiplikatives!
>
> > Zur Dimension: Ist die 2? [mm]{x+0*\wurzel{n} , 0+ y*\wurzel{n}}[/mm]
> > Basis?
>
> Die Dimension ist 2. Aber du musst schon was konkretes fuer
> [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] einsetzen, um an eine Basis zu kommen.
Also [mm]{1+0*\wurzel{n} , 0+1*\wurzel{n}}[/mm]
>
> > Zu b) R ist kein Körper, weil es z.B. zu [mm]2+0*\wurzel{n}[/mm]
> > kein multiplikatives Inverses gibt?
>
> Exakt. Und nun beweise dies.
weil wenn 2*x=1 --> x [mm] \not\in \IZ [/mm] ?
>
> > Wie sieht das multiplikative für ein bel. Element aus Q
> aus?
>
> Nun, es ist doch [mm](a + b \sqrt{n}) (a - b \sqrt{n}) = a^2 - n b^2 \in \IQ[/mm],
> wenn [mm]a, b \in \IQ[/mm] sind. Wann ist [mm]a^2 - n b^2 = 0[/mm]? Kannst du
> dir damit ein Inverses von [mm]a + b \sqrt{n}[/mm] basteln, wenn
> nicht gerade [mm]a = b = 0[/mm] ist?
Wieso = 0 und nicht = 1 ?
>
> > Aus der Tatsache, dass Q Körper ist und dass Q Obermenge
> > von R ist folgt doch direkt, dass Q der Quotientenkörper
> > ist, oder?
>
> Naja, [mm]\IC[/mm] ist auch ein Koerper, der [mm]R[/mm] enthaelt. Du musst
> zeigen, dass [mm]Q[/mm] der kleinste Koerper ist, der [mm]R[/mm] enthaelt.
Kann man da mit [mm] \IZ [/mm] und [mm] \Q [/mm] argumentieren, dass man das da shconmal beweisen hat?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Do 29.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Na, genau das sollst du zeigen! Beachte, dass [mm]\IQ^2 \to \IC[/mm],
> > [mm](x, y) \mapsto x + y \sqrt{n}[/mm] eine [mm]\IQ[/mm]-lineare Abbildung
> > ist. Du musst also zeigen, dass [mm]1[/mm] und [mm]\sqrt{n}[/mm] linear
> > unabhaengig (ueber [mm]\IQ[/mm]!) sind, damit diese Abbildung
> > injektiv ist.
>
> Ah ok, damit man das eine nicht mit dem anderen ausdrücken
> kann?
Ja.
> [mm]1[/mm] und [mm]\sqrt{n}[/mm] sind ja allein deswegen lin. unabh., weil
> [mm]\sqrt{n}[/mm] [mm]\in \IR[/mm] sein kann und weil das eine [mm]\IQ-lineare[/mm]
> Abbildung ist, man ein solches Element nicht durch 1
> erzeugen kann?
Nein. Das reicht nicht als Begruendung.
Schreibe $a + b [mm] \sqrt{n} [/mm] = 0$ mit $a, b [mm] \in \IQ$. [/mm] Du musst zeigen, dass $a = b = 0$ ist.
(Multipliziere zuerst mit dem gemeinsamen Nenner von $a$ und $b$, dann kannst du $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] annehmen. Dann bringe $a$ auf die andere Seite und quadriere die Gleichung.)
(In der Aufgabenstellung fehlt eine wichtige Voraussetzung an $n$: mindestens ein Primfaktor darf nicht mit einer geraden Potenz vorkommen.)
> > > Bei den Teilringen: Reicht es da (ähnlich wie bei VR) zu
> > > zeigen, dass R und Q Teilmengen sind und dass sie bzgl. den
> > > beiden Verknüpfungen abgeschlossen sind?
> >
> > Ja. Bei [mm]Q[/mm] musst du auch noch auf Inverse achten.
> >
>
> Meinst du das additive Inverse? Weil für die
> RIngeigenschaft braucht man ja kein multiplikatives!
Ah, zeigen dass es ein Koerper ist kommt erst in Teil b). Ja, dann brauchst du das (noch) nicht.
> > > Zur Dimension: Ist die 2? [mm]{x+0*\wurzel{n} , 0+ y*\wurzel{n}}[/mm]
> > > Basis?
> >
> > Die Dimension ist 2. Aber du musst schon was konkretes fuer
> > [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] einsetzen, um an eine Basis zu kommen.
>
> Also [mm]{1+0*\wurzel{n} , 0+1*\wurzel{n}}[/mm]
Ja. Damit es eine Basis ist, musst du aber noch zeigen, dass es linear unabhaengig ist (siehe oben).
> > > Zu b) R ist kein Körper, weil es z.B. zu [mm]2+0*\wurzel{n}[/mm]
> > > kein multiplikatives Inverses gibt?
> >
> > Exakt. Und nun beweise dies.
>
> weil wenn 2*x=1 --> x [mm]\not\in \IZ[/mm] ?
Warum kannst du nicht trotzdem $x = a + b [mm] \sqrt{n}$ [/mm] schreiben mit $a, b [mm] \in \IZ$? [/mm] Hier musst du etwas genauer argumentieren (und auch benutzen, dass $a$ und $b$ linear unabhaengig sind).
> > > Wie sieht das multiplikative für ein bel. Element aus Q
> > aus?
> >
> > Nun, es ist doch [mm](a + b \sqrt{n}) (a - b \sqrt{n}) = a^2 - n b^2 \in \IQ[/mm],
> > wenn [mm]a, b \in \IQ[/mm] sind. Wann ist [mm]a^2 - n b^2 = 0[/mm]? Kannst du
> > dir damit ein Inverses von [mm]a + b \sqrt{n}[/mm] basteln, wenn
> > nicht gerade [mm]a = b = 0[/mm] ist?
>
> Wieso = 0 und nicht = 1 ?
?!?
Ich hatte dich gefragt, wann [mm] $a^2 [/mm] - n [mm] b^2 [/mm] = 0$ ist. Wenn es naemlich [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, kannst du damit ein Inverses basteln. Also: wann ist es gleich 0? Kann das auch fuer $a [mm] \neq [/mm] 0$ oder $b [mm] \neq [/mm] 0$ der Fall sein?
> > Aus der Tatsache, dass Q Körper ist und dass Q Obermenge
> > > von R ist folgt doch direkt, dass Q der Quotientenkörper
> > > ist, oder?
> >
> > Naja, [mm]\IC[/mm] ist auch ein Koerper, der [mm]R[/mm] enthaelt. Du musst
> > zeigen, dass [mm]Q[/mm] der kleinste Koerper ist, der [mm]R[/mm] enthaelt.
>
> Kann man da mit [mm]\IZ[/mm] und [mm]\Q[/mm] argumentieren, dass man das da
> shconmal beweisen hat?
Du kannst das benutzen. Du brauchst aber noch mehr Argumentation.
LG Felix
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