Quadratisches Sieb ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade die Funktionsweise des quadratischen Siebs zu verstehen und stoße mich an folgender Aussage Falls n|(x+y)(x-y), aber n weder x+y noch x-y teilt, dann gilt (für den größten gemeinsamer Teiler) ggT(x+y,n) > 1 und ggT(x+y,n) ist ein nichttrivialer Teiler von n.
[https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisches_Sieb]
Wenn man das jetzt noch fortführt, kommt man zu dem Schluss, dass n=ggT(x+y,n) * ggT(x-y,n) und n wäre faktorisiert. Und genau hier fehlt mir die Herleitung bzw. die genaue Begründung, warum die beiden ggT's zusammen eben n ergeben.
Leider wird in jedem Paper zum quadratischen Sieb, das ich bisher gefunden habe, ebendieser Schritt nie weiter ausgeführt (zu trivial?).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mi 24.06.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Eindruck, dass die Behauptung ohne weitere Voraussetzungen nicht richtig ist. Beispielsweise waehle ich [mm] $x=7\cdot 3^{2}$, [/mm] $y= [mm] 4\cdot3^{2}$ [/mm] und [mm] $n=3^4$. [/mm] Dann ist $x+y= [mm] 3^2\cdot [/mm] 11$ und $x-y= [mm] 3^3$. [/mm] Damit ist [mm] $n\vert [/mm] (x+y)(x-y)$, [mm] $n\not\vert [/mm] (x+y)$ und [mm] $n\not\vert [/mm] (x-y)$, jedoch $ggT(n,x+y)ggT(n,x-y)= [mm] 3^{5}\neq [/mm] n$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mi 24.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> jedoch [mm]ggT(n,x+y)ggT(n,x-y)= 3^{5}\neq n[/mm].
>
Es ist zu untersuchen: [mm]ggT(n,x+y)= 3^2[/mm]. Da ist ein nichttrivialer Teiler von n.
Mich wundert nur noch die Aussage [mm]ggT(n,x+y)>1[/mm]. Diese ist schon in "nichttrivialer Teiler" enthalten.
P.S. vergesst, was ich da geschrieben habe.
Dafür aber aus dem Wikipedia Artikel:
"Nicht jede quadratische Kongruenz liefert echte Teiler, aber im Schnitt liefert jede zweite quadratische Kongruenz eine echte Faktorisierung."
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Fr 26.06.2015 | | Autor: | Deadman44 |
Hallo hippias,
erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Mir ist jedoch aufgefallen, dass für deine Wahl von $x, y$ und $n$ zu $n|x-y$ bzw. [mm] $3^4=27|7*3^2-4*3^2=63-36=27$ [/mm] statt [mm] $n\not\vert [/mm] x-y$ führt.
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Hallo,
der letzte Einwand ist nicht richtig, da [mm] 3^4=81 [/mm] und [mm] 81\not|27. [/mm] 
Der deutsche Wikipedia-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisches_Sieb zum Quadratischen Sieb gibt schon die Antwort, was "stillschweigend" angenommen wird.
Der Abschnitt "Funktionsweise" beginnt damit, dass man die zu faktorisierende Zahl $n$ als Produkt der Summe $(x+y)$ und der Different $(x-y)$ der Zahlen $x$ und $y$ darstellen will -- damit man $n$ als Differenz zweier Quadrate auffassen kann. Es gilt also beim Quadratischen Sieb in seiner elementaren Form prinzipiell nicht nur $n|(x+y)(x-y)$, sondern sogar $n=(x+y)(x-y)$.
Es gilt nun $(x+y)=ggT(n,(x+y))$ und $(x-y)=ggT(n,(x-y))$, da $(x+y)$ und $(x-y)$ Teiler von $n$ sind.
Falls man das Quadratische Sieb nun etwas "frisiert", so dass $(x+y)(x-y)$ eventuell ein echtes Vielfaches von $n$ sein darf, dann geht so wie im Beispiel von Hippias die Gleichung $n=ggT(n,(x+y))*ggT(n,(x-y))$ flöten. Dieser Schritt ist sehr logisch, denn man will modulo $n$ rechnen, und da ist nicht mehr klar, um wie viele $n$ sich zwei Zahlen unterscheiden, die den gleichen Divisionsrest modulo $n$ haben.
So erhält man zwar keine "disjunkte" Aufteilung der Faktoren von $n$ in $(x+y)$ und $(x-y)$, aber beide Zahlen sind wenigstens echte Teiler von $n$, die man dann weiter faktorisieren kann. Durch die Lockerung $n=(x+y)(x-y)$ zu $n|(x+y)(x-y)$ gilt nicht mehr $n=ggT(n,(x+y))*ggT(n,(x-y))$, sondern nur noch $n|ggT(n,(x+y))*ggT(n,(x-y))$.
Stark vereinfacht ausgedrückt nimmt man in Kauf, dass die Differenz [mm] $x^2-y^2$ [/mm] nicht genau $n$ ist, sondern nur ein Vielfaches von $n$. Es ist viel leichter Zahlenpaare $(x,y)$ mit dieser Eigenschaft zu finden.
Konkret gilt im Beispiel von Hippias [mm] $ggT(n,(x+y))=ggT(3^4,3^2*11)=3^2$ [/mm] und [mm] $ggT(n,(x-y))=ggT(3^4,3^3)=3^3$.
[/mm]
Wegen [mm] $n|3^5$ [/mm] und gleichzeitig [mm] $3^3|n$ [/mm] und gleichzeitig [mm] $3^3\not=n\not=3^5$ [/mm] ist durch nur wenig zusätzliche Denkarbeit ersichtlich, dass die Faktorisierung von $n$ die Form [mm] $n=3^4$ [/mm] haben muss.
Zuletzt noch zu deiner zweiten Frage, warum $ggT(n,(x+y))>1$. Sei $p$ ein Primzahl und $k$ die größte natürliche Zahl, so dass [mm] $p^k$ [/mm] Teiler von $n$. Dann ist [mm] $p^k$ [/mm] wegen $n|(x+y)(x-y)$ auch Primfaktor von $(x+y)(x-y)$. Der Ring der ganzen Zahlen ist ein faktorieller Ring, d.h. die Zerlegung in Primfaktoren ist eindeutig. Deshalb gilt also $p|(x+y)$ oder $p|(x-y)$. Angenommen $ggT(n,(x+y))=1$, dann würde für alle Primfaktoren $p$ von $n$ gelten, dass [mm] $p\not|(x+y)$. [/mm] Dann würde ebenfalls gelten [mm] $p^k|(x-y)$ [/mm] und letztlich dann auch $n|(x-y)$, was ein Widerspruch zur Grundannahme ist, dass $n$ den Faktor $(x-y)$ nicht teilt.
Liebe Grüße
Hugo
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