Quadratwurzel < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
| Aufgabe | Jede komplexe Zahl z = x + iy [mm] \in \IC_{\ne 0} [/mm] hat genau zwei Quadratwurzeln [mm] w_1 [/mm] , [mm] w_2 \in \IC [/mm] für die gilt
[mm] w_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{|z|} \bruch{z + |z|}{|z + |z||}
[/mm]
Im Fall [mm] z\in \IC [/mm] \ [mm] \IR
[/mm]
i) zeigen Sie, dass die obigen komplexen Zahlen [mm] w_1 [/mm] , [mm] w_2 [/mm] in der Tat Quadratwurzeln von z [mm] \in \IC_{\ne 0} [/mm] darstellen. |
Ich dachte mir ich versuch erstmal ein Term etwas umzuformen, dürfte ja net so schwer sein, da für die Formel es nur den imaginärteil von z gibt. Ich bin dann jetzt so weit gekommen:
[mm] \pm \wurzel{|z|} \bruch{z + |z|}{|z + |z|} [/mm]
= [mm] \pm \wurzel{y} \bruch{iy + y}{|z + y|}
[/mm]
= [mm] \pm \wurzel{y} \bruch{y (i + 1)}{|iy + y|}
[/mm]
= [mm] \pm \wurzel{y} \bruch{y (i + 1)}{|y (i + 1)|}
[/mm]
Soweit bin ich nun, habe auch Schonmal für i ausprobiert ob die Formel soweit richtig umgeformt ist. Kam noch das richtige Ergebnis raus. Nur jetzt mit der Formel schon zu zeigen, dass es die Quadratwurzeln darstellt halte ich für etwas schwierig. Und weiter komme ich nicht, daher bin ich dankbar für nen Tipp wie es hier weitergeht :)
Gruß, Andy
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Jede komplexe Zahl z = x + iy [mm]\in \IC_{\ne 0}[/mm] hat genau
> zwei Quadratwurzeln [mm]w_1[/mm] , [mm]w_2 \in \IC[/mm] für die gilt
>
> [mm]w_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{|z|} \bruch{z + |z|}{|z + |z||}[/mm]
>
> Im Fall [mm]z\in \IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm]
>
> i) zeigen Sie, dass die obigen komplexen Zahlen [mm]w_1[/mm] , [mm]w_2[/mm]
> in der Tat Quadratwurzeln von z [mm]\in \IC_{\ne 0}[/mm]
> darstellen.
> Ich dachte mir ich versuch erstmal ein Term etwas
> umzuformen, dürfte ja net so schwer sein, da für die
> Formel es nur den imaginärteil von z gibt.
Was ist los ? Du meinst also, es sei z=iy ? Wer hat so etwas gesagt ?
Selbst wenn dies der Fall wäre, so wäre |z|=|y|. Aber wie gesagt, es ist so nicht gemeint.
Zeige durch Rechnung, dass [mm] w_{1,2}^2=z [/mm] ist.
FRED
> Ich bin dann
> jetzt so weit gekommen:
>
> [mm]\pm \wurzel{|z|} \bruch{z + |z|}{|z + |z|}[/mm]
> = [mm]\pm \wurzel{y} \bruch{iy + y}{|z + y|}[/mm]
> = [mm]\pm \wurzel{y} \bruch{y (i + 1)}{|iy + y|}[/mm]
>
> = [mm]\pm \wurzel{y} \bruch{y (i + 1)}{|y (i + 1)|}[/mm]
>
> Soweit bin ich nun, habe auch Schonmal für i ausprobiert
> ob die Formel soweit richtig umgeformt ist. Kam noch das
> richtige Ergebnis raus. Nur jetzt mit der Formel schon zu
> zeigen, dass es die Quadratwurzeln darstellt halte ich für
> etwas schwierig. Und weiter komme ich nicht, daher bin ich
> dankbar für nen Tipp wie es hier weitergeht :)
>
> Gruß, Andy
>
> Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Naja ich dachte dass wenn z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IR [/mm] definiert ist, dass man es so auffassen kann, dass so zu sagen der Realteil Re(z) wegfällt und man es nur als iy schreiben kann. Ist das dann Schwachsinn? Und aus dieser Annahme dachte ich, dass man folgern kann, dass dann |z| = [mm] \wurzel{y^2} [/mm] und somit = y ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Naja ich dachte dass wenn z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm] definiert ist,
> dass man es so auffassen kann, dass so zu sagen der
> Realteil Re(z) wegfällt und man es nur als iy schreiben
> kann. Ist das dann Schwachsinn?
Du willst es nicht anders: ja. Ist z=x+iy in [mm] \IC [/mm] \ [mm]\IR[/mm], so bedeutet das nur: y [mm] \ne [/mm] 0
> Und aus dieser Annahme
> dachte ich, dass man folgern kann, dass dann |z| =
> [mm]\wurzel{y^2}[/mm] und somit = y ist.
Aua ! [mm]\wurzel{y^2}=|y|[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Achso ja okay das erste hab ich jetzt verstanden.
Und ja des mit dem Betrag von z war Schwachsinn, des hab ich geradebrecht gesehen, tut mir leid :D
Aber danke für deine Hilfe :)
Gruß, Andy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Ich hab jetzt versucht, wie von Ihnen vorgeschlagen, es durch ausrechnen zu zeigen. Ich denk jedoch, dass sich irgendwo einen Rechen- oder Denkfehler eingeschlichen hat, ich diesen jedoch leider nicht finde..
[mm] \wurzel{|z|}^2 \bruch{z^2 + |z|^2}{|z + |z||^2}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{z^2 + x^2 + y^2}{|z + \wurzel{x^2 + y^2}|^2}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{z^2 + x^2 + y^2}{(z + \wurzel{x^2 + y^2})^2}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{z^2 + x^2 + y^2}{z^2 + 2z\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{x^2 - y^2 + 2xyi + x^2 + y^2}{x^2 - y^2 + 2xyi +(2x + 2y)\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{2x^2 + 2xyi}{2x^2 + 2xyi + (2x + 2y)\wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{2x (x + yi)}{2x ( x+ yi + 2yi\wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{z}{z + (yi\wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
= |z| [mm] \bruch{z}{z+ (yi * |z|)}
[/mm]
= [mm] \bruch{|z| * z}{z + (yi * |z|)}
[/mm]
Wie gesagt, ich denke ein irgendein Fehler wird sich da eingeschlichen haben, ich seh ihn nur leider nicht..
Gruß, Andy
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Hallo Andy,
> Ich hab jetzt versucht, wie von Ihnen vorgeschlagen,
Hier im Forum ist "Du" die gängige Anrede, wie in allen mir bekannten Internetforen.
> es durch ausrechnen zu zeigen. Ich denk jedoch, dass sich
> irgendwo einen Rechen- oder Denkfehler eingeschlichen hat,
> ich diesen jedoch leider nicht finde..
>
> [mm]\wurzel{|z|}^2 \bruch{z^2 + |z|^2}{|z + |z||^2}[/mm] = |z|
Hier fängt es schon an, deswegen ist der Rest danach wurscht.
Im Zähler kannst Du doch nicht gliedweise quadrieren! Schon mal was von binomischen Formeln gehört?
Auf der rechten Seite steht auch nicht das Richtige. Da muss doch $z$ stehen, ohne Betragsstriche.
> [mm]\bruch{z^2 + x^2 + y^2}{|z + \wurzel{x^2 + y^2}|^2}[/mm]
> = |z|
Wenn Du schon z=x+yi einsetzen willst, dann setz es auch überall ein, sonst ist die Rechnung ziemlich witzlos.
> [mm]\bruch{z^2 + x^2 + y^2}{(z + \wurzel{x^2 + y^2})^2}[/mm]
> = |z|
> [mm]\bruch{z^2 + x^2 + y^2}{z^2 + 2z\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}[/mm]
Ach, schau an. Du kennst ja doch binomische Formeln.
> = |z| [mm]\bruch{x^2 - y^2 + 2xyi + x^2 + y^2}{x^2 - y^2 + 2xyi +(2x + 2y)\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}[/mm]
>
> = |z| [mm]\bruch{2x^2 + 2xyi}{2x^2 + 2xyi + (2x + 2y)\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
>
> = |z| [mm]\bruch{2x (x + yi)}{2x ( x+ yi + 2yi\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
>
> = |z| [mm]\bruch{z}{z + (yi\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
> = |z|
> [mm]\bruch{z}{z+ (yi * |z|)}[/mm]
> = [mm]\bruch{|z| * z}{z + (yi * |z|)}[/mm]
>
> Wie gesagt, ich denke ein irgendein Fehler wird sich da
> eingeschlichen haben, ich seh ihn nur leider nicht..
Leider ganz vorn. Und dann musst Du schon z komplett durch x+iy ersetzen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Okay hast du natürlich vollkommen Recht, dass es Schmarrn war, im Zähler einzeln zu quadrieren :)
Also muss es dann heißen:
z = [mm] \wurzel{|z|}^2 [/mm] * [mm] \bruch{(z + |z|)^2}{|z + |z||^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \bruch{z^2 + 2z|z| + |z|^2}{|z + |z||^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \bruch{x^2 -y^2 + 2xyi + 2x + 2yi + 2\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}{|x + yi + \wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \bruch{2x^2 + 2x + 2yi + 2\wurzel{x^2 + y^2}}{x^2 + xyi + x\wurzel{x^2 + y^2} + xyi - y^2 + yi\wurzel{x^2 + y^2} + x\wurzel{x^2 + y^2} + yi\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \bruch{x^2 + x+ yi + xyi + \wurzel{x^2 + y^2}}{x^2 + xyi + x\wurzel{x^2 + y^2} + yi\wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
Soweit richtig oder wieder ein Fehler eingeschlichen? :)
Gruß, Andy
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Hallo Andy,
Du musst gründlicher arbeiten. 
> Also muss es dann heißen:
>
> z = [mm]\wurzel{|z|}^2[/mm] * [mm]\bruch{(z + |z|)^2}{|z + |z||^2}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] * [mm]\bruch{z^2 + 2z|z| + |z|^2}{|z + |z||^2}[/mm]
Vorn steht dann keine Wurzel mehr, sondern nur der Faktor [mm] (x^2+y^2).
[/mm]
> = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] * [mm]\bruch{x^2 -y^2 + 2xyi + 2x + 2yi + 2\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}{|x + yi + \wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
Hier ist $2z|z|$ nicht richtig aufgelöst, und dem Nenner fehlt der rechte Betragsstrich und das Quadrat. Beachte, dass im Nenner also der (quadrierte) Betrag der komplexen Zahl [mm] x+\wurzel{x^2+y^2}+yi [/mm] zu bestimmen ist. Der Imaginärteil dieser Zahl ist nur y.
Ab hier setzen sich die Fehler von oben weiter fort, deswegen höre ich hier mal auf, nachzurechnen.
> = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] * [mm]\bruch{2x^2 + 2x + 2yi + 2\wurzel{x^2 + y^2}}{x^2 + xyi + x\wurzel{x^2 + y^2} + xyi - y^2 + yi\wurzel{x^2 + y^2} + x\wurzel{x^2 + y^2} + yi\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] * [mm]\bruch{x^2 + x+ yi + xyi + \wurzel{x^2 + y^2}}{x^2 + xyi + x\wurzel{x^2 + y^2} + yi\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Oh man solche Leichtsinnsfehler reinzubringen.. :)
Okay den Zähler hab ich nochmal nachgerechnet, bzw das 2z|z|. Stimmt es nun, dass 2z|z| = [mm] 2x\wurzel{x^2 + y^2} [/mm] + [mm] 2yi\wurzel{x^2 + y^2}
[/mm]
Und meinst du im Nenner, dass im Betrag Re(z) = x + [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] und Im(z) = yi?
Dann hätte ich jetzt: |x + [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] + iy| = [mm] \wurzel{(x + \wurzel{x^2 + y^2})^2 +y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{x^2 + 2x\wurzel{x^2 + y^2} + x^2 + y^2 + y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2x^2 + 2y^2 + 2x\wurzel{x^2 + y^2}} [/mm]
Gruß, Andy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Puh, ich denke langsam aber sicher nähere ich mich der Lösung :)
Erstens noch kurz eine Frage: Oben wurde geschrieben, dass [mm] \wurzel{|z|}^2 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] Aber gilt nicht: [mm] \wurzel{|z|}^2 [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{x^2 + y^2}}^2 [/mm] = [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] = |z| ?
Und ja wie ich nun voran gekommen bin:
[mm] \wurzel{x^2+ y^2} [/mm] * [mm] \bruch{x^2 + xyi + x\wurzel{x^2 + y^2} + yi\wurzel{x^2 + y^2}}{x^2 + y^2 + x\wurzel{x^2 + y^2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \bruch{x(x +\wurzel{x^2 + y^2}) + yi(x + \wurzel{x^2 + y^2})}{(x(x + \wurzel{x^2 + y^2}) + y^2} [/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \bruch{(x+iy) (x + \wurzel{x^2 + y^2})}{x(x + \wurzel{x^2 + y^2}) + y^2}
[/mm]
Aber x + [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] kann man doch nicht kürzen wenn ich das richtig sehe? Somit komm ich hier wieder nicht weiter.. :)
Gruß, Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Puh, ich denke langsam aber sicher nähere ich mich der
> Lösung :)
>
> Erstens noch kurz eine Frage: Oben wurde geschrieben, dass
> [mm]\wurzel{|z|}^2[/mm] = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] Aber gilt nicht:
> [mm]\wurzel{|z|}^2[/mm] = [mm]\wurzel{\wurzel{x^2 + y^2}}^2[/mm] =
> [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] = |z| ?
Ja, Du hast recht!
>
> Und ja wie ich nun voran gekommen bin:
>
> [mm]\wurzel{x^2+ y^2}[/mm] * [mm]\bruch{x^2 + xyi + x\wurzel{x^2 + y^2} + yi\wurzel{x^2 + y^2}}{x^2 + y^2 + x\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] * [mm]\bruch{x(x +\wurzel{x^2 + y^2}) + yi(x + \wurzel{x^2 + y^2})}{(x(x + \wurzel{x^2 + y^2}) + y^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] * [mm]\bruch{(x+iy) (x + \wurzel{x^2 + y^2})}{x(x + \wurzel{x^2 + y^2}) + y^2}[/mm]
>
> Aber x + [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] kann man doch nicht kürzen
> wenn ich das richtig sehe? Somit komm ich hier wieder nicht
> weiter.. :)
Das wird recht kompliziert und ich weiß jetzt auch nicht, wo da ein Rechenfehler steckt.
Du willst doch
[mm] $\left(\sqrt {|z|} \frac {z+|z|} {\bigl|z+|z|\bigr|}\right)^2=z$
[/mm]
zeigen. Dies geht besser, wenn Du unter Verwendung von [mm] $|u|^2=u*\overline [/mm] u$ den linken Ausdruck solange vereinfachst, bis der rechte dasteht.
Ich fang mal an:
[mm] $\left(\sqrt {|z|} *\frac {z+|z|} {\bigl|z+|z|\bigr|}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=|z|*\frac {z^2 +2z|z|+|z|^2} [/mm] { [mm] z\overline [/mm] z + z|z| + [mm] |z|\overline [/mm] z + [mm] z\overline [/mm] z}$
[mm] $=|z|*\frac {z^2 +2z|z|+|z|^2} [/mm] { [mm] |z|^2 [/mm] + z|z| + [mm] |z|\overline [/mm] z + [mm] |z|^2}$ [/mm] Mit |z| kürzen:
[mm] $=\frac {z^2 +2z|z|+|z|^2} [/mm] { |z|+ z + [mm] \overline [/mm] z + |z|}$ Schon einfacher! Und jetzt kommt ein Trick: mit z erweitern:
[mm] $=z*\frac {z^2 +2z|z|+|z|^2} [/mm] { |z|z + [mm] z^2 [/mm] + [mm] \overline [/mm] z z + z|z| }= z$
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 So 18.11.2012 | | Autor: | Andy_18 |
Ah vielen Dank für deinen Beitrag! :) die Gleichung hatte ich ganz vergessen.. So geht des ganze ja relativ einfach :)
Gruß, Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 18.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Andy,
ich habe mich schon gefragt, warum du den relativ umständlichen Weg mit z=x+iy gewählt hast...
Wolfgangs Vorschlag ist natürlich sehr kurz und auch eleganter als deine/unsere bisherige Rechnerei, aber ich würde dir raten, den schreibintensiveren Weg auch mal zu Ende zu führen.
Dazu ein Tipp: Teile den Riesenterm in Real- und Imaginärteil auf. Bringe ihn also auf die Form [mm]\frac{\text{bla}}{\text{blie}}+i\cdot\frac{\text{blub}}{\text{blie}}[/mm]. Dazu solltest du die voranstehende Wurzel [mm]\sqrt{x^2+y^2}[/mm] mit dem Zähler ausmultiplizieren.
(Was du bisher ausgerechnet hast ist übrigens richtig.)
Lieben Gruß,
Fulla
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das stimmt.
