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Hallo, mal wieder eine Aufgabe, wo mir jeglicher Ansatz fehlt:
Man bestimme alle Paare m,n positiver ganzer Zahlen für die [mm] 1994^m -1993^n [/mm] eine Quadratzahl ist.
mfg.
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Hi Zwieback
Die Aufgabe (wenn ich sie richtig verstehe) ist eigentlich ganz einfach (glaub ich):
[mm]\forall x \in \IN | x^2 \equiv 0 \vee 1 \vee4 (mod\,8)[/mm](*) setz ich jetzt mal als bekannt vorraus. (lässt sich recht einfach beweisen)
1993 ist eine Primzah 1(mod8)
[mm]\Rightarrow 1993^n \equiv 1 mod 8[/mm]
1994=2*997 (letzere ist Primzahl) und 1994 ist 2(mod8)
i) m=1 [mm] \Rightarrow 1994^m\equiv 2mod\,8[/mm]
[mm] \Rightarrow 1994^1-1993^n\equiv2-1\equiv 1mod\,8[/mm] ´Die linke Seite ist nur für n=1 größer als 0. Damit ergibt sich das Lösungspaar (1;1)
ii) m=2 [mm] \Rightarrow 1994^m\equiv 4mod\,8[/mm]
[mm] \Rightarrow 1994^2-1993^n\equiv 4-1 \equiv 3 mod\,8[/mm] mit (*) kann sich linkerseits keine Quadratzahl ergeben.
iii) m>2 [mm] \Rightarrow 1994^m\equiv 0mod\,8[/mm]
[mm] \Rightarrow 1993^m-1993^n\equiv0-1\equiv7 mod\,8[/mm] mit (*) kann sich linkerseits keine Quadratzahl ergebn.
Die Einzige Quadratzahl ergibt sich daher für (n,m)=(1,1)
Ich hoffe mal, das stimmt 
Gruß Samuel
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