Quadratzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
Seien [mm] a>b\ge1 [/mm] beliebige teilerfremde natürliche Zahlen!!
(1) Beweisen Sie, dass ggT(a+b,a-b) nur die Werte 1 oder 2 annehmen kann
(2) Angenommen, [mm] a^2-b^2 [/mm] ist eine Quadratzahl. Beweisen Sie, dass a+b und a-b beides Quadratzahlen oder das Doppelte von Quadratzahlen sind!( Zerlegen Sie [mm] a^2-b^2 [/mm] in das Produkt (a+b)*(a-b) und verwenden Sie anschließend sowohl Teil (1) der Aufgabe als auch den Satz von der Eindeutigkeit der Zerlegung in Primfaktoren!) |
Hallo Leute,
Also (1) hab ich wie folgt gemacht:
Es gilt also: [mm] a^2-b^2=c^2 [/mm] und ggT(a,b)=1
ggT(a+b,a-b) <=> a+b=d*x und a-b=d*y
=> dx+dy=2a und dx+dy=2b
Erster Fall: (a+b) und (a-b) sind gerade Zahlen.
[mm] \bruch{d}{2}(x+y)=a [/mm] und [mm] \bruch{d}{2}(x+y)=b
[/mm]
[mm] \bruch{d}{2} [/mm] ist also ein gemeinsamer Teiler von a und b, also folgt [mm] ggT(a,b)=\bruch{d}{2}. [/mm] Da a und b teilerfremd sind (ggT(a,b)=1) folgt aus [mm] \bruch{d}{2}=1 [/mm] <=> d=2.
Zweiter Fall: (a+b) und (a-b) sind ungerade Zahlen.
Es gilt also [mm] d*\bruch{x+y}{2}=a [/mm] und [mm] d*\bruch{x-y}{2}=b
[/mm]
=> ggt(a,b)=d
da ggt(a,b)=1 gilt, folgt d=1.
Leider komme ich bei (2) zu keinen gescheiten Ansatz. Habt ihr ein paar Denkanstöße?
Grüße BeeRe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (1) Beweisen Sie, dass ggT(a+b,a-b) nur die Werte 1 oder 2
> annehmen kann
Das ist doch Quark: ist $a = 6$ und $b = 2$, so ist $ggT(6 + 2, 6 - 2) = ggT(8, 4) = 4 > 2$.
Hast du irgendwelche Voraussetzungen an $a$ und $b$ vergessen?
> (2) Angenommen, [mm]a^2-b^2[/mm] ist eine Quadratzahl. Beweisen
> Sie, dass a+b und a-b beides Quadratzahlen oder das
> Doppelte von Quadratzahlen sind!( Zerlegen Sie [mm]a^2-b^2[/mm] in
> das Produkt (a+b)*(a-b) und verwenden Sie anschließend
> sowohl Teil (1) der Aufgabe als auch den Satz von der
> Eindeutigkeit der Zerlegung in Primfaktoren!)
>
>
> Also (1) hab ich wie folgt gemacht:
>
> Es gilt also: [mm]a^2-b^2=c^2[/mm] und ggT(a,b)=1
Moment. Warum sollte das gelten? Hast du etwa die Haelfte der Aufgabenstellung weggelassen?!?
Schreibe sie bitte vollstaendig auf.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Di 08.12.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Entschuldige, klar, du hast natürlich vollkommen recht gehabt ;)
a und b sind teilerfremd und es gilt [mm] a>b\ge1
[/mm]
Sonst ist es haargenau die Aufgabenstellung!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Di 08.12.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
der ggT von a+b und a-b teilt auch die Differenz dieser beiden Terme, und die ist 2b.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Di 08.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
ggT(a+b,a-b) teilt entsprechend auch die Summe, und die ist 2a.
Daher gilt [mm]ggT(a+b,a-b)\ |\ ggT(2a,2b)[/mm]
Klarer?
reverend
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Okay, ich versuche jetzt erstmal nur zu beweisen, dass a+b oder a-b
beides Quadratzahlen sind, mit Hilfe der Primfaktorzerlegung:
Es soll ja gelten [mm] c^2=a^2-b^2 [/mm] <=> [mm] c^2=(a-b)*(a+b)
[/mm]
Nach dem Satz der eindeutigen Primfaktorenzerlegung ist
[mm] c=p_{1}^{\alpha_{1}}*p_{2}^{\alpha_{2}}*...*p_{t}^{\alpha_{t}}
[/mm]
[mm] c^2=p_{1}^{2\alpha_{1}}*p_{2}^{2\alpha_{2}}*...*p_{t}^{2\alpha_{t}}
[/mm]
[mm] (a-b)=r_{1}^{\beta_{1}}*r_{2}^{\beta_{2}}*...*r_{t}^{\beta_{t}}
[/mm]
[mm] (a+b)=q_{1}^{\gamma_{1}}*q_{2}^{\gamma_{2}}*...*q_{t}^{\gamma_{t}}
[/mm]
=> [mm] c^2=(a-b)*(a+b) [/mm] <=> [mm] p_{1}^{2\alpha_{1}}*p_{2}^{2\alpha_{2}}*...*p_{t}^{2\alpha_{t}}=r_{1}^{\beta_{1}}*r_{2}^{\beta_{2}}*...*r_{t}^{\beta_{t}}
[/mm]
[mm] *q_{1}^{\gamma_{1}}*q_{2}^{\gamma_{2}}*...*q_{t}^{\gamma_{t}}
[/mm]
Was hilft mir das jetzt eine Aussage über die Quadratzahlen [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm]
zutreffen? Oder ist das total abwegig was ich hier mache?
lg BeeRe
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Hallo nochmal,
nein, das ist ganz hübsch, was Du da machst. Und eine prima Übung für den Formeleditor obendrein.
Eigentlich bist Du schon fertig, du siehst wohl nur noch nicht, wieso.
Wenn der erste Teil der Aufgabe bewiesen wäre, dann könntest Du die Primfaktoren von c ja mal auf die beiden Faktoren (a+b) und (a-b) aufteilen. Sollte die 2 dabei sein, braucht sie eine Sonderbehandlung. Aber das sagt ja auch die Aufgabe schon.
Ist der erste Teil der Aufgabe denn schon bewiesen?
lg
reverend
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> Hallo nochmal,
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> nein, das ist ganz hübsch, was Du da machst. Und eine
> prima Übung für den Formeleditor obendrein.
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> Eigentlich bist Du schon fertig, du siehst wohl nur noch
> nicht, wieso.
>
> Wenn der erste Teil der Aufgabe bewiesen wäre
> könntest Du die Primfaktoren von c ja mal auf die beiden
> Faktoren (a+b) und (a-b) aufteilen.
> sein, braucht sie eine Sonderbehandlung. Aber das sagt ja
> auch die Aufgabe schon.
>
> Ist der erste Teil der Aufgabe denn schon bewiesen?
>
> lg
> reverend
Hey,
also was meinst du denn mit ersten Teil bewiesen?
Ich habe doch gezeigt, dass ggT(a+b,a-b) entweder 1 oder 2 ist. Oder nicht?^^
Wenn (a+b) und (a-b) ungerade Zahlen sind, gilt ggT(a+b,a-b)=1
bei geraden Zahlen (a+b) u. (a-b), gilt ggT(a+b,a-b)=2.
Ich verstehe noch nicht wirklich, auch nicht "ansatzweise" was ich "sehen" soll, deshalb sehe ich (a+b), (a-b) auch im Moment nicht als Quadratzahlen bewiesen..Ich spüre das magische Brett vor meinem Kopf aber ich schaff es nicht zu durchbrechen,...vllt weil es schon etwas später ist ;). Aber irgendwie hab ich irgendwas nicht vollständig verstanden, so scheint es mir momentan.. Ich verstehe aber was du gesagt hast, aber kann das nicht auf mein Problem transferieren.
Naja, schönen Abend noch^^, die BeeRe
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Hallo BeeRe,
alle Primfaktoren von c müssen entweder in (a+b) oder in (a-b) "stecken", die aber höchstens den ggT 2 haben können.
Was heißt das für einen in c enthaltenen Prim(potenz)faktor [mm] \gamma_i>2, [/mm] der [mm] g_i [/mm] Mal vorkommt, also [mm] \gamma_i^{g_i} [/mm] ?
Wieviele Möglichkeiten gibt es, diese Primpotenz auf (a+b) und (a-b) zu "verteilen"?
Und wie sieht es mit der Potenz [mm] 2^{g_1} [/mm] aus?
***
Der erste Teil der Aufgabe ist m.E. erledigt, ich habe noch nur keine zusammenfassende Lösung hier gelesen. Das Material für den Beweis ist aber vollständig.
lg
reverend
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Ich versuche es einmal in eigene Worte zufassen
[mm] c^2=(a-b)*(a+b)=r_{1}^{2\alpha_{1}}*r_{2}^{2\alpha_{2}}*...*r_{g}^{2\alpha_{g}}
[/mm]
[mm] c^2 [/mm] besitzt die eindeutige Primfaktoren.
(a-b) und (a+b) besitzen zwar auch eindeutige Primfaktoren, aber es bedarf einer Unterscheidung!
Erster Fall (a-b) und (a+b) sind teilerfremd. Es stimmt also keiner der Primfaktoren überein.
Wenn ich schreibe [mm] c^2=r_{1}^{2\alpha_{1}}*r_{2}^{2\alpha_{2}}*...*r_{g}^{2\alpha_{g}}=(a+b)*(a-b) [/mm] und ggT(a+b,a-b)=1 => quasi(doof geschrieben) [mm] c^2=c^2*(a+b) [/mm] und [mm] c^2=(a-b)*c^2 [/mm] => Entweder ist (a+b) oder (a-b) muss zwangsläufig eins(damit keine Zusammengesetzte Zahl sein) also auch keinerlei Primfaktoren beinhalten. Weil und darum alle Primfaktoren von [mm] c^2 [/mm] nur in einer Summe entweder (a+b) oder (a-b) passen, quasi wie die Faust aufs Auge ;). Damit habe ich bewiesen dass es keine Primfaktoren existieren, für eine der beiden ungerade Summe, denn 1 ist keine Primzahl. Ich schätze, dass ich mich hier an der ein oder anderen Stelle vllt nicht mathematisch genug ausgedrückt habe. Wenn die Folgerungen richtig sind, wie kann ich es vllt besser mathematisch ausdrücken, kurz und prägnant? Damit wäre auch bewiesen dass bei diesem Fall, auch immer eine ungerade Quadartzahl herauskommt. Und deshalb die Zerlegung von [mm] c^2 [/mm] in [mm] r_{1}^{2\alpha_{1}}*r_{2}^{2\alpha_{2}}*...*r_{g}^{2\alpha_{g}}, [/mm] vom Primfaktor 2 verschieden ist.
Fall 2 muss ich mir noch etwas überlegen, da brauch ich noch ein bisschen Zeit.
Liebe Grüße, die BeeRe
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Hallo BeeRe,
die Idee ist richtig, nur noch etwas unübersichtlich notiert.
Fall 2 braucht nur noch eine zusätzliche Betrachtung für den in [mm] c^2 [/mm] enthaltenen Faktor 2^2k. Und weil in Fall 1 ja schon ggT...=1 erledigt war, bleibt in Fall 2 nur noch ggT...=2 zu berücksichtigen. Mit anderen Worten: in der einen Zahl ist der Primfaktor [mm] 2^1, [/mm] in dem anderen [mm] 2^{2k-1} [/mm] enthalten.
Klar?
Wenn ja, dann versuch doch mal, den ganzen Beweis mit möglichst wenig Wörtern und in möglichst wenig Schritten zu schreiben. Das ist meistens ein gutes Ziel, um zu einem einigermaßen "mathematischen" Beweis zu kommen.
lg
rev
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Hallo,
Jetzt hast du mich vollkommen abgehängt, das kann ich überhaupt nicht nachvollziehen...wieso sollte sich in beiden Faktoren 2 bzw 2^2k-1 haben? Ich sehe nur den Fall k=1
Ich hab mir jetzt mal ein Zahlenbeispiel gemacht...
a=25, b=7 ggT(a,b)=1 und ggT(a+b,a-b)=2
[mm] 26^2=(25+7)*(25-7)=32*18=2*9^2*2*3^2 [/mm] (a+b) und (a-b) sind das doppelte von ihren Quadartzahlen. Selbst wenn man hier den Faktor 2 kürzt gilt auch [mm] ggT(\bruch{a+b}{2},\bruch{a-b}{2})>1
[/mm]
[mm] c^2=(a-b)*(a+b) [/mm] mit [mm] a-b=2g^2 [/mm] und [mm] a+b=2h^2 [/mm] müssen wir ja zeigen.
Da ggT(a+b,a-b)=2 kann man doch schon daraus schließen dass die Faktoren den Faktor 2 besitzen und somit schon mal das 2te ihre "Zahl" sind, wenn das Ergebnis auch eine Quadartzahl ist.
=> [mm] \bruch{c^2}{4}=(\bruch{c}{2})^2=\bruch{a+b}{2}*\bruch{a-b}{2} [/mm]
Also das Ergebnis bleibt auch eine Quadartzahl. Somit müsste man doch nur noch zeigen, dass [mm] \bruch{a+b}{2}=g^2 [/mm] und [mm] \bruch{a-b}{2}=h^2 [/mm] mit [mm] g,h\in\IN [/mm] existiert? Oder irre ich mich?
Grüße, BeeRe
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Hallo BeeRe,
> Jetzt hast du mich vollkommen abgehängt, das kann ich
> überhaupt nicht nachvollziehen...
Du scheinst Dich gerade selber abzuhängen.
> wieso sollte sich in
> beiden Faktoren 2 bzw 2^2k-1 haben? Ich sehe nur den Fall
> k=1
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Ich hab mir jetzt mal ein Zahlenbeispiel gemacht...
Ja, und ein sehr passendes dazu.
> a=25, b=7 ggT(a,b)=1 und ggT(a+b,a-b)=2
> [mm]26^2=(25+7)*(25-7)=32*18=2*9^2*2*3^2[/mm]
Nö. [mm] \red{24^2}=25^2-7^2=\cdots=32*18=2*\red{4}^2*2*3^2=2^6*3^2
[/mm]
> (a+b) und (a-b) sind
> das doppelte von ihren Quadartzahlen.
> Selbst wenn man hier
> den Faktor 2 kürzt gilt auch
> [mm]ggT(\bruch{a+b}{2},\bruch{a-b}{2})>1[/mm]
Nein. Du hattest doch bewiesen, dass das gar nicht sein kann. ggT(32,18)=2
> [mm]c^2=(a-b)*(a+b)[/mm] mit [mm]a-b=2g^2[/mm] und [mm]a+b=2h^2[/mm] müssen wir ja
> zeigen.
> Da ggT(a+b,a-b)=2 kann man doch schon daraus schließen
> dass die Faktoren den Faktor 2 besitzen und somit schon mal
> das 2te ihre "Zahl" sind, wenn das Ergebnis auch eine
> Quadartzahl ist.
Und wie teilen sich die [mm] 2^6 [/mm] aus Deinem Beispiel auf?
> =>
> [mm]\bruch{c^2}{4}=(\bruch{c}{2})^2=\bruch{a+b}{2}*\bruch{a-b}{2}[/mm]
>
> Also das Ergebnis bleibt auch eine Quadartzahl. Somit
> müsste man doch nur noch zeigen, dass [mm]\bruch{a+b}{2}=g^2[/mm]
> und [mm]\bruch{a-b}{2}=h^2[/mm] mit [mm]g,h\in\IN[/mm] existiert? Oder irre
> ich mich?
Ja, Du irrst Dich.
> Grüße, BeeRe
lg
rev
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Hey,
ohje, was ist denn da schief gelaufen..sorry,...
ok. [mm] 24^2=25^2-7^2=(25-7)(25+7)=18*32 [/mm] <=>
[mm] 2^6*3^2=2*3^2*2^5 [/mm] darf man das jetzt allgemein übertragen <=> [mm] 2^k=2^1*3^2*2^{k-1}=(a-b)(a+b)
[/mm]
Dann würde daraus folgen das [mm] a-b=2*g^2 [/mm] ist und (a+b)=2^(k-1) wäre. Naja 2^(k-1) sollte man eigentlich immer als das doppelte seiner Quadartzahl darstellen können, aber wie? Irgendwie bin ich jetzt richtig verwirrt.. :(
Hmm, wie könnte ich das verstehen, wenn ich nicht verstehe, was ich überhaupt verstehen soll...Wahrscheinlich sind deine Hilfestellung natürlich die Lösung zum Verständnis warum (a-b) und (a+b) immer das doppelte ihrer Quadartzahlen sind, aber irgendwie hab ich total die Orientierung verloren :/...Könntest du vielleicht, bitte, einen Gang zurückschalten, damit ich eine neue Chance bekomme :)?
Lg, B33r3
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 13.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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