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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mo 13.02.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Gegeben ist die Quadrik:
[mm] 7x_1^2-x_2^2+6x_1x_2+52x_1+4x_2+58=0
[/mm]
Zeichne die zugehörige Kurve! |
Also ich habe die Quadrik auf Normalform gebracht und erhalten, dass
[mm] z_1^2-4z_2^2=1 [/mm] ist.
Kurzer Ausschnitt meines Rechenwegs:
EW: 8,-2
[mm] q(y_1,y_2)= -2y_1^2-4\wurzel{10}y_1+8y_2^2+16\wurzel{10}y_2+58=0
[/mm]
Quadrat. ergänzt:
[mm] -2(y_1+\wurzel{10})^2+8(y_2+\wurzel{10})^2-2=0
[/mm]
Sei [mm] z_1=y_1+\wurzel{10} [/mm] und [mm] z_2=y_2+\wurzel{10}
[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm] z_1^2-4z_2^2=1 [/mm]
Mein Problem ist aber die Zeichnerei. Also etw genauer:
Wie sieht das neue Koordinatensystem aus?
Und wie sieht die darin liegende Hyperbel aus?
An welchen werten erkenne ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 13.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst ja ne Matrix gefunden haben, die das dreht, so dass du die y gleichung hast. also weisst du wieviel gedreht wurde, soviel drehst du zurück, dann kennst du die Hyperbel in ihrem Ausgangssystem einzeichnen, mit den Mittelpunktsverschiebungen.
$ [mm] -(y_1+\wurzel{10})^2+4(y_2+\wurzel{10})^2=1 [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mo 13.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Also die Matrix T, sodass [mm] A'=T^T [/mm] * A *T = [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 8 } [/mm] , lautet:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} \pmat{ -1 & 3 \\ 3 & 1 }.
[/mm]
Kannst du es mir bitte daran erklären?
Wie erkenne ih jetzt um wieviel ich drehen muss? Wie bestimme ich den Winkel?
Ok, das neue KS habe ich mittlerweile, wie zeichne ich jetzt aber da die hyperbel ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mo 13.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine matrix bildet ja die Vektoren [mm] (1,0)^t [/mm] und [mm] (0,1)^t [/mm] auf die Spaltenvektoren ab, daran kannst du direkt die drehung zeichnen, sonst vergleich die Matrix mit einer normalen Drehung oder hier Drehspiegelung.
du zeichnest also dein x-y system inddem die ursprüngliche Quadrik liegt, bildest die 2 Achseneinheitsvektoren ab in die Spalteneinheitsvektoren von T, darin kannst du dann direkt deine Hyperbel wie gewohnt einzeichnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 13.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke hab's jetzt verstanden,
Dafür hab ich jetzt Probleme mit folgender Quadrik
[mm] 2x_1^2+2x_2^2-4x_1x_2+2x_1+6x_2=0
[/mm]
Also EW sind 0 und 4
Die Matrix T ist : [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
Setze [mm] x_1=\bruch{1}{\wurzel{2}}(y_1+y_2) [/mm] und [mm] x_2=\bruch{1}{\wurzel{2}}(y_1-y_2)
[/mm]
Dann erhalte ich als [mm] q(y_1,y_2)=4y_2^2+\bruch{8}{\wurzel{2}}y_1+\bruch{8}{\wurzel{2}}y_2=0
[/mm]
Dann quadratisch ergänzen:
[mm] 4(y_2^2+\bruch{2}{\wurzel{2}}y_2+1/2)-2+\bruch{8}{\wurzel{2}}y_1=0
[/mm]
[mm] -->4(y_1^2+\bruch{1}{\wurzel{2}})^2+\bruch{8}{\wurzel{2}}y_1-2=0
[/mm]
--> [mm] 4z_1^2+\bruch{8}{\wurzel{2}}z_2-2=0
[/mm]
Laut Buch müsste es aber lauten:
[mm] 4z_1^2+\bruch{8}{\wurzel{2}}z_2=0, [/mm] also ohne die -2, die erhalte ich aber doch bei der quadratischen ergänzung, weil ich die ja wieder abziehen muss....
Wo liegt denn mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nach einsetzen von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] schon was anderes.
Teil doch deine Gleichung gleich durch 2.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Di 14.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Wenn ich aber doch [mm] x_1=(y_1+y_2)*1/\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_2=(y_1-y_2)*1/\wurzel{2}
[/mm]
in die Quadrik erinsetze , erhalte ich doch:
[mm] 2*0,5(y_1+y_2)^2+2*0,5*(y_1-y_2)^2-4*0,5(y_1+y_2)(y_1-y_2)+2/\wurzel{2}*(y_1+y_2)+6/\wurzel{2}*(y_1-y_2)
[/mm]
= [mm] y_1^2+2y_1y_2+y_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2-2(y_1^2-y_2^2)+2/\wurzel{2}y_1+2/\wurzel{2}y_2+6/\wurzel{2}y_1-6/\wurzel{2}y_2
[/mm]
[mm] 4y_2^2+8/\wurzel{2}y_1-4/\wurzel{2}y_2
[/mm]
Wenn ich jetzt quadratisch ergänze, muss ich aber doch immernoch 2 abziehen, erhalte also nicht 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab auch die -2 raus, allerdings deine Eigenvektoren nicht überprüft. Es gibt auch falsche Ergebnisse in Büchern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 14.02.2012 | | Autor: | rollroll |
ich wundere mich nur, denn bei der Quadrik:
[mm] x^2+7y^2+2\wurzel{7}xy-2y=0 [/mm] taucht dasselbe Problem auf.
Auch hier muss ich am Ende quadratisch ergänzen und erhalte einen konstanten Summanden.
Laut Buch muss aber [mm] 8x'^2-1/\wurzel{2}y'=0 [/mm] rauskommen.
Dieses problem taucht nur auf, wenn das Schaubild eine Parabel ist. Hat es vielleicht damit zu tun, oder ist meine Rechung doch i-wie falsch?
Oder liegt es daran dass ein EW 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die haben einfach z anders gewählt als du:
$ [mm] 4(y_1+\bruch{1}{\wurzel{2}})^2+\bruch{8}{\wurzel{2}}y_2-2=0 [/mm] $
schreib das als $ [mm] 4(y_1+\bruch{1}{\wurzel{2}})^2+\bruch{8}{\wurzel{2}}(y_2-\wurzel{2}/4)=0 [/mm] $,
[mm] z1=y_1+\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] z_2=(y_2-\wurzel{2}/4)
[/mm]
dann hast du die gewüenschte Form in z.
die braucht man aber zum Zeichnen nicht! und nicht um die parabel zu sehen.
Gruss leduart
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