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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
mein Problem liegt bei der Transformation einer Quadrik in die Normalform.
Eine Quadrik kann man ja so darstellen:
[mm] $\vec{x}^T [/mm] A [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] 2\vec{b} \vec{x} [/mm] +c = 0$
Ich weiss, dass A invertierbar ist.
Nun, die gemischten quadratischen Terme kann man ja wegbekommen, indem man A diagonalisiert. Dazu bestimmt man die Eigenraeume etc, und nimmt sich dann eine orthogonale Matrix T her, in der dann die normierten Basisvektoren der Eigenraeume stehen.
Dann hat man etwas wie [mm] $\vec{u}^T [/mm] D [mm] \vec{u} [/mm] + 2 [mm] \vec{b} [/mm] T [mm] \vec{u} [/mm] + c =0$
Nun habe ich bisher gelesen, dass man dann den linearen Anteil mithilfe quad. Ergaenzung wegbekommt.
Was ich aber moechte ist, dass ich eine Translation mache, so dass ich hinterher sagen kann: Wenn ich [mm] $\vec{x}=T\vec{u}+\vec{p}$ [/mm] setze, dann bekomme ich eine Quadrik der Form [mm] $x^2+y^2+z^2+c=0$
[/mm]
Jetzt ist meine Frage: Woher bekomme ich den linaeren Anteil [mm] $\vec{p}$
[/mm]
Wenn ich das schon wie oben transformiert habe, und dann fuer [mm] $\vec{u}$ [/mm] wieder etwas lineare wie [mm] $\vec{u}=\vec{w}]\vec{f}$ [/mm] oder aehnliches einsetze, dann bringt es mir ja auch nichts.
Deshalb nun meine Frage:
Wie muss man die Transformation berechnen, damit man eine solche Quadrik in die oben genannte Normalform bekommt?
Beste Gruesse,
Kroni
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Hallo Kroni,
> Hallo,
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> mein Problem liegt bei der Transformation einer Quadrik in
> die Normalform.
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> Eine Quadrik kann man ja so darstellen:
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> [mm]\vec{x}^T A \vec{x} + 2\vec{b} \vec{x} +c = 0[/mm]
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> Ich weiss, dass A invertierbar ist.
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> Nun, die gemischten quadratischen Terme kann man ja
> wegbekommen, indem man A diagonalisiert. Dazu bestimmt man
> die Eigenraeume etc, und nimmt sich dann eine orthogonale
> Matrix T her, in der dann die normierten Basisvektoren der
> Eigenraeume stehen.
> Dann hat man etwas wie [mm]\vec{u}^T D \vec{u} + 2 \vec{b} T \vec{u} + c =0[/mm]
>
> Nun habe ich bisher gelesen, dass man dann den linearen
> Anteil mithilfe quad. Ergaenzung wegbekommt.
>
> Was ich aber moechte ist, dass ich eine Translation mache,
> so dass ich hinterher sagen kann: Wenn ich
> [mm]\vec{x}=T\vec{u}+\vec{p}[/mm] setze, dann bekomme ich eine
> Quadrik der Form [mm]x^2+y^2+z^2+c=0[/mm]
>
> Jetzt ist meine Frage: Woher bekomme ich den linaeren
> Anteil [mm]\vec{p}[/mm]
>
> Wenn ich das schon wie oben transformiert habe, und dann
> fuer [mm]\vec{u}[/mm] wieder etwas lineare wie
> [mm]\vec{u}=\vec{w}]\vec{f}[/mm] oder aehnliches einsetze, dann
> bringt es mir ja auch nichts.
>
> Deshalb nun meine Frage:
>
> Wie muss man die Transformation berechnen, damit man eine
> solche Quadrik in die oben genannte Normalform bekommt?
Einfach in die eingangs erwähnt Gleichung einsetzen:
[mm]\overrightarrow{x}^{T} A \overrightarrow{x}+2\overrightarrow{b}^{T} \overrightarrow{x}+c=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(T\overrightarrow{u}+\overrightarrow{p}\right)^{T} A \left(T \overrightarrow{u}+\overrightarrow{p}\right)+2\overrightarrow{b}^{T}\left(T\overrightarrow{u}+\overrightarrow{p}\right)+c=0[/mm]
Dieses Ausmultiplizieren und den linearen Anteil Null setzen.
Dann kannst Du den Translationsvektor [mm]\overrightarrow{p}[/mm] berechnen.
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> Beste Gruesse,
>
> Kroni
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, das werde ich die Tage dann mal probieren, aber das hoert sich logisch an. Mein T ist dann aber noch weiterhin meine Orthogonale Matrix aus den normierten Eigenbasen oder?
Bevor ichs vergesse: Der Mittelpunkt der Quadrik waere dann der Translationsvektor oder?
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
> Hi,
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> okay, das werde ich die Tage dann mal probieren, aber das
> hoert sich logisch an. Mein T ist dann aber noch weiterhin
> meine Orthogonale Matrix aus den normierten Eigenbasen
> oder?
Ja, klar.
>
> Bevor ichs vergesse: Der Mittelpunkt der Quadrik waere dann
> der Translationsvektor oder?
Der Mittelpunkt der Quadrik ist dann [mm]-\overrightarrow{p}[/mm].
>
> LG
>
> Kroni
Gruß
MathePower
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