Quadrupoltensor diagonal < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Wenn die Ladungsverteilung [mm] \rho(\vec{x}) [/mm] invariant unter Drehungen mit einem Winkel [mm] \alpha [/mm] < [mm] \pi [/mm] um die z-achse ist, dann ist der Quadrupoltensor diagonal und [mm] Q_{11}=Q_{22}=-Q_{33}/2 [/mm] |
Hallo,
aus meiner linearen Algebra Vorlesung weiß ich noch, dass symmetrische Matrizen (der Quadrupoltensor ist klar symmetrisch) mit orthogonalen Matrizen diagonalisierbar sind. Orthogonale Matrizen sind gerade Drehungen und Spiegelungen. Also ist die Behauptung in der Aufgabe auch gezeigt.
Aber irgendwie bin ich damit nicht zufrieden. Lässt sich das nicht auf eine weniger abstrakte Weise, Physikerverträglich sozusagen, und besser zur Aufgabe passend zeigen?
Außerdem kann ich mit meinem Beweis auch nicht zeigen, dass [mm] Q_{11}=Q_{22}=-Q_{33}/2 [/mm] gilt.
Der Quadrupoltensor lautet:
[mm] Q_{ij}=\integral_{}{\rho(x')(3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}) d^3x'}
[/mm]
hieraus folgt schonmal klar, dass für alle Elemente, abseits der Diagonalen gilt:
[mm] Q_{ij}=\integral_{}{\rho(x')(3x_i'x_j') d^3x'}
[/mm]
Aber kann man damit was anfangen? Wie bringe ich jetzt noch die Drehung um die z-Achse mit ins Spiel?
Gruß,
Rutzel
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Hallo!
Ich knabbere grade etwas an dieser Formulierung mit dem "invariant".
Ich interpretiere das so, daß man zwei unterschiedliche, zu z rotationssymmetrische Ladungsverteilungen hat, und daß für den ein einen Halbraum die eine und für den anderen die andere Verteilung vorliegt. Also so, wenn man das Koordinatensystem entsprechend wählt:
[mm] \rho(r, [/mm] z, [mm] \phi)=\begin{cases}\rho_0(r, z) & \text{für }0\le\phi<\pi\\\rho_\pi(r, z) & \text{für }\pi\le\phi<2\pi\end{cases}
[/mm]
Wenn du dann zu Polarkoordinaten übergehst, teilst du das Integral entsprechend in zwei Teile für die Integration über [mm] \phi [/mm] .
ABER: [mm] $\int_Rdr\int_Zdz\int_0^\pi d\phi \rho_0(r, [/mm] z)f(r, [mm] \phi) [/mm] + [mm] \int_Rdr\int_Zdz\int_\pi^{2\pi} d\phi \rho_\pi(r, [/mm] z)f(r, [mm] \phi)$
[/mm]
[mm] $=\int_Rdr\int_Zdz\left(\rho_0(r, z)\int_0^\pi d\phi f(r, \phi)+\rho_0(r, z)\int_\pi^{2\pi} d\phi f(r, \phi)\right)$
[/mm]
Wenn du jetzt bedenkst, daß dieses f für die Nebendiagonalenelemente sowas wie [mm] \sin(phi) [/mm] , [mm] \cos(\phi) [/mm] und [mm] \sin(phi)\cos(\phi) [/mm] enthält, müßtest du zeigen können, daß die =0 werden.
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