Quantil von Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 So 19.04.2009 | | Autor: | tessanie |
| Aufgabe | | a) Es sei X ~ Bin(10, [mm] \bruch{1}{3}), [/mm] d.h. P(X=k) = [mm] \vektor{10 \\ k} \left(\bruch{1}{3}\right)^{k} \left(\bruch{2}{3}\right)^{10-k} [/mm] für k [mm] \in \{ 0,...,10 \}. [/mm] Bestimmen Sie für p [mm] \in \{ \bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}, \bruch{3}{4} \} [/mm] die p-Quantile von X. |
Hallo!
Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht so richtig, wie ich vorgehen soll. Zuerst: Versteh ich es richtig, dass ich drei Quantile berechnen soll und zwar für p = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] p = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und p= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ?
Wenn ja, würde ich für das erste Quantil p = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] so vorgehen:
In der Vorlesung habe ich mir folgendes aufgeschrieben:
P(X [mm] \le \varepsilon_{p} [/mm] (F) ) [mm] \ge [/mm] p
Also:
P(X [mm] \le \varepsilon_{ \bruch{1}{4}} [/mm] (F) ) [mm] \ge \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\varepsilon_{ \bruch{1}{4} }} [/mm] P(X=k) [mm] \ge \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\varepsilon_{ \bruch{1}{4}}} \vektor{10 \\ k} \left(\bruch{1}{3}\right)^{k} \left(\bruch{2}{3}\right)^{10-k} \ge \bruch{1}{4}
[/mm]
Und jetzt? Solch ich einfach ein paar Zahlen für [mm] \varepsilon_{ \bruch{1}{4}} [/mm] ausprobieren? Ich hatte mir aus der Vorlesung auch aufgeschrieben, dass dieses [mm] \varepsilon_{F} [/mm] eine reele Zahl ist, also gibt es doch unendlich viele Zahlen die ich da einsetzten kann und nicht nur die natürlichen von 1 bis 10, oder?
Über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen. 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 So 19.04.2009 | | Autor: | Oliver |
Hallo tessanie,
> Versteh ich es richtig, dass ich drei Quantile berechnen soll
> und zwar für p = $ [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] $ p = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
> und p= $ [mm] \bruch{3}{4} [/mm] $ ?
Korrekt.
> der Vorlesung auch aufgeschrieben, dass dieses
> [mm]\varepsilon_{F}[/mm] eine reele Zahl ist, also gibt es doch
> unendlich viele Zahlen die ich da einsetzten kann und nicht
> nur die natürlichen von 1 bis 10, oder?
Stimmt alles. Allerdings bezog sich Eure Vorlesung auf den allgemeinen Fall, d.h. Eure Formel gilt auch für stetige Verteilungen (wie z.B. die Normalverteilung), bei denen die Zufallsvariable beliebige reelle Werte annehmen kann.
Die Variable $X$ kann - wie Du richtig bemerkt hast - allerdings nur Werte zwischen 0 und 10 annehmen (sowas nennt sich dann diskrete Verteilung) und das Probieren geht somit deutlich einfacher von der Hand. :)
Viele Grüße
Oliver
P.S.: Ich habe in Deiner Fragestellung die Vektoren in der Binomischen Verteilung durch Brüche ersetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 So 19.04.2009 | | Autor: | tessanie |
Hallo Oliver!
Vielen Dank für deine Antwort! Das das Ganze ja ne diskrete Verteilung ist, daran hab ich irgendwie gar nicht mehr gedacht.
Also, als Fazit, wenn ich für k die Zahlen 1 bis 10 ausprobiere, komme ich auf folgende Ergebnisse (mit Matlab):
P(X = k) =
0.08670764957916
0.19509221155312
0.26012294873749
0.22760758014530
0.13656454808718
0.05690189503633
0.01625768429609
0.00304831580552
0.00033870175617
0.00001693508781
P(X [mm] \le [/mm] k) =
0.08670764957916
0.28179986113228
0.54192280986977
0.76953039001507
0.90609493810225
0.96299683313858
0.97925451743467
0.98230283324019
0.98264153499636
0.98265847008417
Also, sind meine Ergebnisse:
[mm] \varepsilon_{\bruch{1}{4}} [/mm] = 2, weil P(X [mm] \le [/mm] 2) = 0.2818 [mm] \ge [/mm] 0,25
[mm] \varepsilon_{\bruch{1}{2}} [/mm] = 3, weil P(X [mm] \le [/mm] 3) = 0.5419 [mm] \ge [/mm] 0,50
[mm] \varepsilon_{\bruch{3}{4}} [/mm] = 4, weil P(X [mm] \le [/mm] 5) = 0.7695 [mm] \ge [/mm] 0,75
Viele Grüße
Tessanie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 19.04.2009 | | Autor: | Oliver |
Hi Tessanie,
im Prinzip alles richtig, aber ...
> P(X [mm]\le[/mm] k) =
> 0.08670764957916
> 0.28179986113228
> 0.54192280986977
> 0.76953039001507
> 0.90609493810225
> 0.96299683313858
> 0.97925451743467
> 0.98230283324019
> 0.98264153499636
> 0.98265847008417
für [mm] $P(X\le10)$ [/mm] solltest Du $1$ erhalten. Kann es sein, dass Du $P(X=0)$ vergessen hast?
Viele Grüße
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 19.04.2009 | | Autor: | tessanie |
Ja, stimmt. Hab ich vergessen. Die Ergebnisse für die Quantile ändern sich aber nicht mehr.
Nochmals danke schön.
Tessanie
Und hier nochmal, die nun hoffentlich richtigen Ergebnisse:
für k = 0, 1, ..., 10
P(X=k) =
0.01734152991583
0.08670764957916
0.19509221155312
0.26012294873749
0.22760758014530
0.13656454808718
0.05690189503633
0.01625768429609
0.00304831580552
0.00033870175617
0.00001693508781
P(X [mm] \le [/mm] k)
0.01734152991583
0.10404917949500
0.29914139104811
0.55926433978560
0.78687191993090
0.92343646801809
0.98033836305441
0.99659604735051
0.99964436315602
0.99998306491219
1.00000000000000
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