Quantile bei Losgröße?? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 24.05.2004 | | Autor: | ulli |
Hi!
arbeite gerade an einer Seminararbeit. Bei der letzten Formel haben sich mir jetzt ein paar Stolpersteine in den Weg gestellt!
Die Formel lautet:
[mm] Q = F_N^{-1} \left( \bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)} \right) [/mm]
wobei die Variablen:
Q - optimale Bestellmenge
FN - Verteilungsfunktion
pN - erwartete Nettoeinnahmen pro Stück
s - Schrottwert pro Stück
gN - Nettofehlmengenkosten pro Stück
c - Einkaufspreis pro Stück
sind.
Frage: Laut einem Lektor ist der Wert in der Klammer zwischen 0 und 1 und somit eine Wahrscheinlichkeit, stimmt das?
Was bedeutet Verteilungsfunktion hoch minus 1? Setzte ich dann den Wert in der Klammer in die Funktion ein?
Kommen da nicht Prozent heraus, ich soll doch eine höhere Zahl für die Bestellmenge bekommen!
Hoffe auf rasche Hilfe! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulli,
willkommen im MatheRaum  !
> Die Formel lautet:
>
> [mm]Q = F_N^{-1} \left( \bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)} \right)[/mm]
>
>
> wobei die Variablen:
>
> Q - optimale Bestellmenge
>
> FN - Verteilungsfunktion
>
> pN - erwartete Nettoeinnahmen pro Stück
>
> s - Schrottwert pro Stück
>
> gN - Nettofehlmengenkosten pro Stück
>
> c - Einkaufspreis pro Stück
>
> sind.
>
> Frage: Laut einem Lektor ist der Wert in der Klammer
> zwischen 0 und 1 und somit eine Wahrscheinlichkeit, stimmt
> das?
Ja!
Das sieht man recht schnell durch diese Umformung innerhalb der (Argument-) Klammern:
[mm] $\bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{p_N - s + g_N}{p_N - s + g_N}-\bruch{c-s}{p_N - s + g_N}$
[/mm]
[mm] $=1-\bruch{c-s}{p_N - s + g_N}$
[/mm]
[mm] $=1-\bruch{c-s}{p_N + g_N-s}$
[/mm]
Nun bleibt nur noch zu klären, ob für den Bruch gilt:
[mm] $0\le \bruch{c-s}{p_N + g_N-s}\le1$
[/mm]
Zunächst die linke Ungleichung:
[mm] $0\le \bruch{c-s}{p_N + g_N-s}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0\le [/mm] c-s$
[mm] $\gdw\ s\le [/mm] c$ (Das würde ich denken, stimmt: Schrottwert [mm] \le [/mm] Einkaufspreis)
Rechte Ungleichung:
[mm] $\bruch{c-s}{p_N + g_N-s}\le1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ c-s\le p_N [/mm] + [mm] g_N-s$
[/mm]
[mm] $\gdw\ c\le p_N [/mm] + [mm] g_N$ [/mm] (das überlasse ich dir zu begründen, ich hoffe, es ist dir klar (mir nämlich nicht, denn ich kenne den Kontext ja nicht))
> Was bedeutet Verteilungsfunktion hoch minus 1? Setzte ich
> dann den Wert in der Klammer in die Funktion ein?
> Kommen da nicht Prozent heraus, ich soll doch eine höhere
> Zahl für die Bestellmenge bekommen!
Das Bedeutet die Umkehrung der Verteilungsfunktion.
Man könnte auch schreiben:
[mm] F_N(Q) = \bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)}[/mm]
Q ist also derjenige Wert, so dass [mm] F_N [/mm] den rechten Wert annimmt (wahrscheinlich liest du die Werte für [mm] F_N [/mm] ja in einer Tabelle ab; du suchst also in der Tabelle den Wert auf der rechten Seite der Gleichung und liest dann die Anzahl k ab).
> Hoffe auf rasche Hilfe! Danke!
Schneller ging nicht
Ich hoffe, es hilft dir weiter, frag' einfach weiter nach, falls nicht.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 24.05.2004 | | Autor: | ulli |
Danke für die rasche Antwort!
Leider bin ich immer noch nicht ganz schlau daraus geworden.
Stimmt das?
[mm] F_N \left( Q \right) = \bruch{1}{\sigma \wurzel{2 \pi}} * \integral_{- \infty}^{Q} e^{- \bruch{1}{2} \left( \bruch{t - \my}{\sigma} \right) ^2\, dt [/mm]
Nach dem t- gehört ein my, aber irgendwie zeigt er mir das nicht an.
Q ist die gesuchte Variable und soll ja eigentlich eine große Zahl sein (100, 1000,...)
Bis jetzt sieht es nämlich noch so aus für mich, als ob ich den Wert aus der Tabelle für Q ablese und das würde dann ja ein Wert bis max. 2 sein, oder?
Vielleicht ein paar blöde Fragen, aber Statistik kommt erst nächstes Semester an die Reihe. *gg*
Danke ulli!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ulli!
> Stimmt das?
>
> [mm]F_N \left( Q \right) = \bruch{1}{\sigma \wurzel{2 \pi}} * \integral_{- \infty}^{Q} e^{- \bruch
{1}{2} \left( \bruch{t - \mu}{\sigma} \right) ^2}\, dt[/mm]
Ja, das stimmt, wenn ihr Normalverteilungsannahmen macht.
Gesucht ist also dasjenige $Q$ mit
[mm]\bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)} = F_N \left(Q \right) = \bruch{1}{\sigma \wurzel{2 \pi}} * \integral_{- \infty}^{Q} e^{- \bruch
{1}{2} \left( \bruch{t - \mu}{\sigma} \right) ^2}\, dt[/mm].
Das $Q$ kannst du mit Hilfe von Tabellen bestimmen.
> Q ist die gesuchte Variable und soll ja eigentlich eine
> große Zahl sein (100, 1000,...)
Je größer [mm]\bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)}[/mm] ist, d.h. je näher dieser Ausdruck an $1$ dran liegt, desto größer ist $Q$, klar. Der Eindruck, dass nur Werte um die $2$ rauskommen, kommt daher, dass die Normalverteilungsdichte in den Rändern sehr flach wird, halt exponentiell flach. Dadurch ist sehr weit rechts "kaum noch Fläche unter dem Graphen", d.h. die Wahrscheinlichkeiten für diese extremalen Ereignisse sind sehr klein. Theoretisch kann aber $Q$ sehr große werden, sogar beliebig groß.
Aber selbst das Quantil [mm] $u_{0.9995}$ [/mm] liegt bei rund $3.29$, d.h. es gilt:
[mm] $F_N^{-1}(0.9995) [/mm] = 3.29$.
Man muss also schon sehr, sehr nah an $1$ drangehen, um Quantile in der Größenordnung von $100$ oder gar $1000$ zu bekommen. Jetzt weiß ich natürlich nicht, wie groß in deiner Formel der Wert
[mm] $\bruch{\left( p_N - s + g_N \right) - \left( c - s \right)}{\left( p_N - s + g_N \right)}$
[/mm]
erfahrungsgemäß so ist. Vielleicht liegt er ja immer sehr, sehr nahe an $1$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:48 Mo 24.05.2004 | | Autor: | ulli |
Danke für die rasche Antwort, aber ganz bin ich nicht davon überzeugt.
Laut der Grafik, die im Paper angefügt ist [The Newsboy Problem with Resalable Returns von Teunter & Mustard], wird nur die linke Seite der Gauß'schen Glockenkurve genommen - nur für positive Werte.
Habe jetzt mit jemanden gesprochen, der denkt, dass es auf die Nachfrage (N) ankommt, die dann mit dem Wert von Q multipliziert wird und somit die optimale Bestellmenge ergibt.
Was gibt mir eigentlich t an (aus der Formel von vorher), da ich nach diesem Wert integriere.
Danke ulli!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Di 25.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
also, ich denke wir kommen hier nicht weiter.
Die Hinweise, die wir gegeben haben, waren jedenfalls (mathematisch) alle korrekt.
Kannst du uns den Artikel mal zuschicken oder ihn verlinken, falls du noch Interesse hast?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Mi 26.05.2004 | | Autor: | ulli |
danke für die hilfe, aber es hat sich schon erledigt!
meine gruppe und ich, wir waren noch einmal bei unserem professor und die präsentation ist sich auf eine 1 ausgegangen!
was will man mehr?
also nochmal ein großes danke!
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