Quantoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Warum entsteht ein Unterschied zwischen:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \exists [/mm] y [mm] \in \IZ: [/mm] y [mm] \in [/mm] [x,x+1[ und
[mm] \exists [/mm] y [mm] \in \IZ \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : y [mm] \in [/mm] [x,x+1[
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Warum entsteht ein Unterschied zwischen:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR \exists[/mm] y [mm]\in \IZ:[/mm] y [mm]\in[/mm] [x,x+1[
> und
> [mm]\exists[/mm] y [mm]\in \IZ \forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] : y [mm]\in[/mm] [x,x+1[
>
Du solltest versuchen, dir die Aussagen laut vorzulesen:
"Für jedes x aus den reellen Zahlen gibt es eine ganze Zahl y, sodass diese Zahl y im Intervall [x, x+1[ liegt."
und
"Es gibt eine ganze Zahl y, sodass für jedes beliebige reelle x gilt: y liegt im Intervall [x, x+1[."
Kurzum: Die Reihenfolge der Quantoren legt fest, wie ich die Zahlen zu wählen habe. Einmal muss ich für ein beliebiges x ein entsprechendes y finden, und im zweiten Fall ein besonders ausgezeichnetes y finden, dass für alle x gilt (was nicht existiert).
Ich hoffe der Unterschied ist klar geworden.
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Reaper |
OK das wenn [mm] \exists [/mm] am Anfang steht und dann [mm] \forall [/mm] kapier ich, aber warum muss ich hierbei ein ausgezeichnetes finden wenn doch kein ! steht? Es kann doch eins oder mehr sein, oder?
Und wenn für alle am Anfang kommt steig ich irgendwie aus mit der Vorstellung. Könntest du bitte ein triviales Beispiel angeben, was den Unterschied verdeutlicht? Stehe momentan echt auf der Leitung
|
|
|
| |
|
Hallo,
Um mal aus dem Buch "Das ist o.B.d.A. trivial!" von Beutelspacher zu klau... äh, zu zitieren ... es besteht offensichtlich ein ziemlich großer Unterschied zwischen den Aussagen:
- Für alle Männer gibt es eine Frau, sodass gilt: "Mann hat was mit Frau." und
- Es gibt eine Frau, sodass für alle Männer gilt: "Mann hat was mit Frau."
Um zu deinem Beispiel zurückzukommen:
Ist die Reihenfolge [mm]\exists x \forall y[/mm], dann bedeutet dies, dass es (mindestens) ein x gibt, sodass die Bedingung für alle y erfüllt ist.
Steht jedoch [mm]\forall y \exists x[/mm], so bedeutet das, dass du zuerst ein beliebiges y wählst, und dann ein passendes x finden kannst, für das die entsprechende Eigenschaft erfüllt ist. Die Reihenfolge ist entscheidend! Denn: Es gibt zwar zu jedem y ein entsprechendes x, jedoch kann das x, je nachdem, welchen Wert für y ich gewählt habe, verschieden sein (d.h. x kann von y abhängen). Bei der ersten Aussage oben geht das nicht: Dort muss es (mindestens) ein ganz bestimmtes x geben, dass für alle y gleichzeitig gilt (d.h. x ist unabhängig von der Wahl für y).
Ich hoffe, dieser stark umgangssprachliche und unmathematische Erklärungsversuch trägt etwas zum Verständnis bei. 
Gruß,
- Marcel
|
|
|
|
