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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 25.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | [mm] x^{(4)}+x [/mm] = [mm] t^2*e^t*cos(t) [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht diese Aufgabe aus dem Skript nachzuvollziehen, aber hatte ein paar Probleme dabei. Das was in Klammern steht, habe ich mir dazu gedacht, der Rest ist aus dem Skript abgeschrieben.
Die rechte Seite hat die Form: [mm] \bruch{1}{2}*t^2*(e^{\lambda*t}+e^{\overrightarrow{\lambda}*t}) [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] = 1+i , [mm] \overrightarrow{\lambda}= [/mm] 1-i
(Ja, denn cos(t) = [mm] \bruch{e^{it}+e^{-it}}{2} \Rightarrow t^2+e^t*cos(t) [/mm] = [mm] t^2*\bruch{e^t*(e^{it}+e^{-it})}{2} [/mm] = [mm] t^2*\bruch{e^t*e^{it}+e^t*e^{-it}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*t^2*(e^{(1+i*t}+e^{(1-i)*t}.)
[/mm]
Satz 11.15 : Allgemein hat das Quasipolynom [mm] e^{\lambda*t}*p(t) [/mm] mit p(t)= [mm] a_n*t^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*t^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_1*t [/mm] + [mm] a_0 [/mm] die k-te Ableitung:
[mm] \bruch{d^k}{d*t^k} (e^{\lambda*t}*p(t)) [/mm] = [mm] e^{\lambda*t}*\summe_{l=0}^{k}\vektor{k \\ l}*\lambda^k*p^{(k-l)}(t)
[/mm]
Wir setzen die partikuläre Lösung [mm] x_p [/mm] = [mm] y_p [/mm] + [mm] \overrightarrow{y_p} [/mm] mit [mm] y_p^{(4)}(t) [/mm] + [mm] y_p(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*t^2*e^{\lambda*t}.
[/mm]
(Eigentlich soweit alles klar, nur eine Kleinigkeit stört mich doch: wir haben ja oben festgestellt, dass die rechte Seite die Form [mm] \bruch{1}{2}*t^2*(e^{\lambda*t}+e^{\overrightarrow{\lambda}*t}) [/mm] hat. Warum darf man dann hier plötzlich für [mm] e^{\lambda*t}+e^{\overrightarrow{\lambda}*t} [/mm] nur noch [mm] e^{\lambda*t} [/mm] schreiben??)
Dann weiter: Nach der Formel 11.15 ist die linke Seite: [mm] y_p^{(4)}(t) [/mm] + [mm] y_p(t) [/mm] = [mm] e^{\lambda*t} [/mm] ( [mm] a_2*t^2*(\lambda^{4}-1) [/mm] + [mm] a_1*t*(\lambda^{4}-1) [/mm] + [mm] a_2*t*8*\lambda^{3} [/mm] + [mm] a_0*(\lambda^{4}-1) [/mm] + [mm] a_1*4*\lambda^{3} [/mm] + [mm] a_2*12*\lambda^{2} [/mm] )
(Das hatte ich zuerst überhaupt nicht verstanden (dazu muss ich sagen, dass mein Prof das noch viel komplzierter geklammert hatte. hab das hier sogar extra übersichtlich geschrieben) aber dann habe die Formel verwendet, alles ausmultipliziert und wieder zusammengefasst und habe exakt das Selbe rausbekommen wie im Skript steht *FREU* ^^. Aber dann geht's weiter:)
Vergleich mit der rechten Seite (also [mm] \bruch{1}{2}*t^2*e^{\lambda*t}) [/mm] ergibt:
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*(\lambda^{4}-1)} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{6} [/mm] (denn [mm] \lambda^{2} [/mm] = 2i, [mm] \lambda^{4} [/mm] = -4)
(Das mit dem Lamdba ist klar, aber wie komme ich überhaupt auf das [mm] a_2 [/mm] ?? Wie führee ich den Vergleich genau durch. Also ich habe es mal eingesetzt. Wenn man nur den allerersten teil in der großen Klammer (da, wo das [mm] e^{\lambda*t} [/mm] ausgeklammert ist) betrachtet, dann kommt ja doch Kürzen das Gleiche raus.
Also : [mm] e^{\lambda*t}*\bruch{(\lambda^{4}-1)}{(\lambda^{4}-1)}*\bruch{1}{2}*t^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*t^2*e^{\lambda*t}
[/mm]
Aber in der Klammer stehen ja noch viel mehr Summanden - eben z.B. auch andere Glieder mit [mm] a_2 [/mm] s drin, die müssten doch auch beachtet werden oder nicht??, sollen die dann alle 0 sein oder was??
Also meine Idee war jetzt, aus dem Bruch auch noch alle Glieder mit [mm] a_2 [/mm] zu nehmen und [mm] a_2 [/mm] auszuklammen, sodass ich dann [mm] hab:e^{\lambda*t}*a_2*((\lambda^{4}-1)*t^2 [/mm] + [mm] 8*\lambda^{3}*t [/mm] + [mm] 12*\lambda^{2}) [/mm] und das gleich der rechten Seite zu setzen... ist das richtig??
liebe Grüße
(es tut mir Leid dass ich so aufm Schlauch steh aber ich hab einfach schon sooo Angst vor morgen früh...)
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Hallo a_la_fin,
> [mm]x^{(4)}+x[/mm] = [mm]t^2*e^t*cos(t)[/mm]
> Hallo,
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> ich habe versucht diese Aufgabe aus dem Skript
> nachzuvollziehen, aber hatte ein paar Probleme dabei. Das
> was in Klammern steht, habe ich mir dazu gedacht, der Rest
> ist aus dem Skript abgeschrieben.
>
>
> Die rechte Seite hat die Form:
> [mm]\bruch{1}{2}*t^2*(e^{\lambda*t}+e^{\overrightarrow{\lambda}*t})[/mm]
> mit [mm]\lambda[/mm] = 1+i , [mm]\overrightarrow{\lambda}=[/mm] 1-i
>
> (Ja, denn cos(t) = [mm]\bruch{e^{it}+e^{-it}}{2} \Rightarrow t^2+e^t*cos(t)[/mm]
> = [mm]t^2*\bruch{e^t*(e^{it}+e^{-it})}{2}[/mm] =
> [mm]t^2*\bruch{e^t*e^{it}+e^t*e^{-it}}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*t^2*(e^{(1+i*t}+e^{(1-i)*t}.)[/mm]
>
> Satz 11.15 : Allgemein hat das Quasipolynom
> [mm]e^{\lambda*t}*p(t)[/mm] mit p(t)= [mm]a_n*t^n[/mm] + [mm]a_{n-1}*t^{n-1}[/mm] +
> ... + [mm]a_1*t[/mm] + [mm]a_0[/mm] die k-te Ableitung:
> [mm]\bruch{d^k}{d*t^k} (e^{\lambda*t}*p(t))[/mm] =
> [mm]e^{\lambda*t}*\summe_{l=0}^{k}\vektor{k \\ l}*\lambda^k*p^{(k-l)}(t)[/mm]
>
> Wir setzen die partikuläre Lösung [mm]x_p[/mm] = [mm]y_p[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{y_p}[/mm] mit [mm]y_p^{(4)}(t)[/mm] + [mm]y_p(t)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*t^2*e^{\lambda*t}.[/mm]
>
> (Eigentlich soweit alles klar, nur eine Kleinigkeit stört
> mich doch: wir haben ja oben festgestellt, dass die rechte
> Seite die Form
> [mm]\bruch{1}{2}*t^2*(e^{\lambda*t}+e^{\overrightarrow{\lambda}*t})[/mm]
> hat. Warum darf man dann hier plötzlich für
> [mm]e^{\lambda*t}+e^{\overrightarrow{\lambda}*t}[/mm] nur noch
> [mm]e^{\lambda*t}[/mm] schreiben??)
Weil die Störfunktion dem Realteil der Funktion [mm]t^{2}*e^{\left(1+i\right)*t}[/mm] entspricht.
Setzt man mit dem Ansatz
[mm]\left(a_{2}*t^{2}+a_{1}*t+a_{0}\right)*e^{\left(1+i\right)*t}[/mm]
an, so löst der Realteil dieser
partikulären Lösung die obige DGL.
>
> Dann weiter: Nach der Formel 11.15 ist die linke Seite:
> [mm]y_p^{(4)}(t)[/mm] + [mm]y_p(t)[/mm] = [mm]e^{\lambda*t}[/mm] (
> [mm]a_2*t^2*(\lambda^{4}-1)[/mm] + [mm]a_1*t*(\lambda^{4}-1)[/mm] +
> [mm]a_2*t*8*\lambda^{3}[/mm] + [mm]a_0*(\lambda^{4}-1)[/mm] +
> [mm]a_1*4*\lambda^{3}[/mm] + [mm]a_2*12*\lambda^{2}[/mm] )
>
> (Das hatte ich zuerst überhaupt nicht verstanden (dazu
> muss ich sagen, dass mein Prof das noch viel komplzierter
> geklammert hatte. hab das hier sogar extra übersichtlich
> geschrieben) aber dann habe die Formel verwendet, alles
> ausmultipliziert und wieder zusammengefasst und habe exakt
> das Selbe rausbekommen wie im Skript steht *FREU* ^^. Aber
> dann geht's weiter:)
>
> Vergleich mit der rechten Seite (also
> [mm]\bruch{1}{2}*t^2*e^{\lambda*t})[/mm] ergibt:
> [mm]a_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*(\lambda^{4}-1)}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{6}[/mm] (denn
> [mm]\lambda^{2}[/mm] = 2i, [mm]\lambda^{4}[/mm] = -4)
>
> (Das mit dem Lamdba ist klar, aber wie komme ich überhaupt
> auf das [mm]a_2[/mm] ?? Wie führee ich den Vergleich genau durch.
> Also ich habe es mal eingesetzt. Wenn man nur den
> allerersten teil in der großen Klammer (da, wo das
> [mm]e^{\lambda*t}[/mm] ausgeklammert ist) betrachtet, dann kommt ja
> doch Kürzen das Gleiche raus.
> Also :
> [mm]e^{\lambda*t}*\bruch{(\lambda^{4}-1)}{(\lambda^{4}-1)}*\bruch{1}{2}*t^2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}*t^2*e^{\lambda*t}[/mm]
> Aber in der Klammer stehen ja noch viel mehr Summanden -
> eben z.B. auch andere Glieder mit [mm]a_2[/mm] s drin, die müssten
> doch auch beachtet werden oder nicht??, sollen die dann
> alle 0 sein oder was??
>
> Also meine Idee war jetzt, aus dem Bruch auch noch alle
> Glieder mit [mm]a_2[/mm] zu nehmen und [mm]a_2[/mm] auszuklammen, sodass ich
> dann [mm]hab:e^{\lambda*t}*a_2*((\lambda^{4}-1)*t^2[/mm] +
> [mm]8*\lambda^{3}*t[/mm] + [mm]12*\lambda^{2})[/mm] und das gleich der
> rechten Seite zu setzen... ist das richtig??
Sortiere jetzt die verbleibenden Summanden nach [mm]t^{1}, \ t^{0}=1[/mm].
Und vergleiche dies mit den entsprechenden Koeffizienten auf der rechten Seite.
Dann erhältst Du ein Gleichungssystem, woraus Du die
fehlenden Koeffizienten bestimmen kannst.
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> liebe Grüße
> (es tut mir Leid dass ich so aufm Schlauch steh aber ich
> hab einfach schon sooo Angst vor morgen früh...)
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Sa 26.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Dankeschöön!
jetzt hab ich's ENDLICH komplett kapiert  . Hab alles nachgerechnet, kam des richtige raus => ich bin vorbereitet für die Klausur morgen! (hoffentlich...)
lG
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