Quaternionen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 20.05.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | Beweise folgende Formel [mm] (\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2+\delta_1^2)*(\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2+\delta_2^2)=(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2)^2+(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2)^2+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2)^2+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2)^2
[/mm]
Hinweis: Man verwende dabei die Norm von Quaternionen. |
Hallo zusammen,
ich komme bei diesem Satz einfach nicht weiter.
Es handelt sich hierbei um Quaternione. Wir haben diese wie folgt definiert.
unter einem Quaternion q versteht man eine formal Summe [mm] q=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta [/mm] k mit [mm] \alpha,\beta,\gamma,\delta \in \IR [/mm] und i, j, k imaginäre Einheiten.
Die Multiplikation haben wir so definiert:
[mm] q_1q_2 [/mm] = [mm] (\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2)+(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2)+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2)+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2)
[/mm]
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen. Ich hab leider überhaupt keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen soll :-/
Gruß, cloe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Cloe!
> Beweise folgende Formel
> [mm](\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2+\delta_1^2)*(\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2+\delta_2^2)=(\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2)^2+(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2)^2+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2)^2+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2)^2[/mm]
>
> Hinweis: Man verwende dabei die Norm von Quaternionen.
Der Hinweis sagt schon alles 
> ich komme bei diesem Satz einfach nicht weiter.
>
> Es handelt sich hierbei um Quaternione. Wir haben diese wie
> folgt definiert.
>
> unter einem Quaternion q versteht man eine formal Summe
> [mm]q=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta[/mm] k mit
> [mm]\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \IR[/mm] und i, j, k imaginäre
> Einheiten.
>
> Die Multiplikation haben wir so definiert:
>
> [mm]q_1q_2[/mm] =
> [mm](\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2)+(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2)+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2)+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2)[/mm]
Du meinst wohl eher [mm]q_1 q_2 = (\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2) +(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2) i+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2) j+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2) k[/mm]?
Wenn du [mm] $q_n [/mm] = [mm] \alpha_n [/mm] + [mm] \beta_n [/mm] i + [mm] \gamma_n [/mm] j + [mm] \delta_n [/mm] k$ setzt, $n = 1, 2$, dann lautet die zu zeigende Gleichung gerade [mm] $\parallel q_1 \parallel^2 \cdot \parallel q_2 \parallel^2 [/mm] = [mm] \parallel q_1 q_2 \parallel^2$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 20.05.2006 | | Autor: | cloe |
> Du meinst wohl eher [mm]q_1 q_2 = (\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2) +(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2) i+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2) j+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2) k[/mm]?
Ja, das meinte ich eigentlich.
Ich versteh nicht so ganz wie das dann mit der Norm aussehen soll. :-/
Wie würde es auf die Aufageb angewendet dann aussehen?
Gruß, cloe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo cloe!
> > Du meinst wohl eher [mm]q_1 q_2 = (\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2-\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2) +(\alpha_1\beta_2+\beta_1\alpha_2+\gamma_1\delta_2-\delta_1\gamma_2) i+(\alpha_1\gamma_2-\beta_1\delta_2+\gamma_1\alpha_2+\delta_1\beta_2) j+(\alpha_1\delta_2+\beta_1\gamma_2-\gamma_1\beta_1+\delta_1\alpha_2) k[/mm]?
>
> Ja, das meinte ich eigentlich.
>
> Ich versteh nicht so ganz wie das dann mit der Norm
> aussehen soll. :-/
>
> Wie würde es auf die Aufageb angewendet dann aussehen?
Schreibe doch bitte mal den Ausdruck [mm] $\parallel q_1 \parallel^2 \cdot \parallel q_2 \parallel^2 [/mm] = [mm] \parallel q_1 q_2 \parallel^2$ [/mm] aus, indem du die Definition der Norm und [mm] $q_i$ [/mm] einsetzt.
Und schreib mal auf was du ueber die Quaternionen-Norm so weisst...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 So 21.05.2006 | | Autor: | cloe |
Also die Norm eines Quaternions q ist [mm] N(q)=q\overline{q}= \overline{q}q=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2
[/mm]
[mm] \overline{q} [/mm] ist die Konjugierte von q, d.h. [mm] \overline{q}=\alpha-\beta i-\gamma j-\delta [/mm] k
und es gilt:
[mm] N(q_1 q_2)= q_1 q_2 [/mm] * [mm] \overline{q_1 q_2}=q_1 q_2 [/mm] * [mm] \overline{q_2} \overline{q_1} [/mm] = [mm] q_1 [/mm] * [mm] N(q_2) [/mm] * [mm] \overline{q_1}=q_1\overline{q_1} [/mm] * [mm] N(q_2) =N(q_1)N(q_2)
[/mm]
Und bei meinem Beweis muß ich von [mm] N(q_1)N(q_2) [/mm] nach [mm] N(q_1 q_2), [/mm] oder?
Aber ich weiß nicht wie ich von [mm] q_1 q_2 [/mm] * [mm] \overline{q_1 q_2} [/mm] nach [mm] N(q_1 q_2) [/mm] kommen soll.
Ist mein Ansatz soweit richtig??
Danke im voraus für deine Hilfe.
Gruß, cloe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Also die Norm eines Quaternions q ist [mm]N(q)=q\overline{q}= \overline{q}q=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2[/mm]
>
> [mm]\overline{q}[/mm] ist die Konjugierte von q, d.h.
> [mm]\overline{q}=\alpha-\beta i-\gamma j-\delta[/mm] k
>
> und es gilt:
>
> [mm]N(q_1 q_2)= q_1 q_2[/mm] * [mm]\overline{q_1 q_2}=q_1 q_2[/mm] *
> [mm]\overline{q_2} \overline{q_1}[/mm] = [mm]q_1[/mm] * [mm]N(q_2)[/mm] *
> [mm]\overline{q_1}=q_1\overline{q_1}[/mm] * [mm]N(q_2) =N(q_1)N(q_2)[/mm]
>
> Und bei meinem Beweis muß ich von [mm]N(q_1)N(q_2)[/mm] nach [mm]N(q_1 q_2),[/mm]
> oder?
>
> Aber ich weiß nicht wie ich von [mm]q_1 q_2[/mm] * [mm]\overline{q_1 q_2}[/mm]
> nach [mm]N(q_1 q_2)[/mm] kommen soll.
>
Das ist doch dann einfach nur nochmal die Definition der Norm angewendet auf den Quaternionen [mm] $(q_1q_2)$. [/mm] Das kannst du quasi einfach hinschreiben, denke ich. Schaut dann komplett aus der Beweis.
Gruß Micha 
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:15 Di 23.05.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich hätte da noch eine Rückfrage.
Sei also [mm] q_1 [/mm] = [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \beta_1 [/mm] i + [mm] \gamma_1 [/mm] j + [mm] \delta_1 [/mm] k
[mm] q_2 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] + [mm] \beta_2 [/mm] i + [mm] \gamma_2 [/mm] j + [mm] \delta_2 [/mm] k
[mm] \overline{q_1} [/mm] = [mm] \alpha_1 [/mm] - [mm] \beta_1 [/mm] i - [mm] \gamma_1 [/mm] j - [mm] \delta_1 [/mm] k
[mm] \overline{q_2} [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] - [mm] \beta_2 [/mm] i - [mm] \gamma_2 [/mm] j - [mm] \delta_2 [/mm] k
Es gilt ja: [mm] \overline{q_2} [/mm] * [mm] \overline{q_1} [/mm] = [mm] \overline{q_1}\overline{q_2}, [/mm] oder ?
Wie erhalte ich [mm] \overline{q_1}\overline{q_2} [/mm] ??
Muß ich [mm] \overline{q_2} [/mm] mal [mm] \overline{q_1} [/mm] rechnen? Bei [mm] \overline{q_1}\overline{q_2} [/mm] ist es ja wieder vertauscht.
Beim Endergebnis habe ich nämlich Vorzeichenfehler.
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen.
Danke im voraus.
Gruß cloe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 25.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 21.05.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
es handelt sich doch bei der zu beweisenden Formel um den Vier-Quadrate-Satz, oder?
Aber was hat dieser Satz mit der Norm von Quaternionen zu tun?
Welcher Zusammenhang besteht??
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen.
Gruß, cloe
PS: die Aufgabe [mm] ||q_1||^2 ||q_2||^2 [/mm] = [mm] ||q_{1}q_{2}||^2 [/mm] konnte ich beweisen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo,
>
> es handelt sich doch bei der zu beweisenden Formel um den
> Vier-Quadrate-Satz, oder?
> Aber was hat dieser Satz mit der Norm von Quaternionen zu
> tun?
>
> Welcher Zusammenhang besteht??
>
Ich sehe da keinen unmittelbaren Zusammenhang, da der Vier-Quadrate-Satz ein Satz der Zahlentheorie ist, der ja eine Existenzaussage macht und das hier ist ja einfach nur definition einsetzen und Ausrechnen.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > es handelt sich doch bei der zu beweisenden Formel um den
> > Vier-Quadrate-Satz, oder?
> > Aber was hat dieser Satz mit der Norm von Quaternionen zu
> > tun?
> >
> > Welcher Zusammenhang besteht??
> >
> Ich sehe da keinen unmittelbaren Zusammenhang, da der
> Vier-Quadrate-Satz ein Satz der Zahlentheorie ist, der ja
> eine Existenzaussage macht und das hier ist ja einfach nur
> definition einsetzen und Ausrechnen.
Oh, da gibts schon etwas Zusammenhang Schliesslich ist die rechte Seite eine Summe von vier Qudraten. Wenn man nun die Unbestimmten so waehlt, dass das Produkt auf der linken Seite genau die gewuenschte Zahl ergibt und auf der rechten Seite alles [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, so ist man fertig.
Es ist also zumindest mal ein Schritt in Richtung des Satzes :)
LG Felix
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