Quaternionengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | Sei G [mm] \subseteq GL2(\IC) [/mm] die Untergruppe, die von den Matrizen
A = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] erzeugt wird. Zeige:
i) G ist eine nicht-abelsche Gruppe von Ordnung 8
ii) G ist nicht isomorph zu einem semidirekten Produkt echter Untergruppen. |
Hallo Leute,
könnt ihr vielleicht mal über meine Lösung schauen?
Reicht das aus, was ich geschrieben habe oder habe ich vergessen, irgendwas zu zeigen?
zu i)
Seien A,B [mm] \in [/mm] G und E [mm] \in [/mm] G.
Betrachte die verschiedenen Kompositionen auf G:
(Rechnungen lasse ich jetzt mal weg, das wird sonst zu unübersichtlich).
A² = -E
B² = -E
AB = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } [/mm] = C
BA = -C
C² = -E
AC = E
CA = B
BC = A
CB = -A
Damit besteht die gesamte Gruppe aus nur 8 Elementen:
{E, -E, A, -A, B, -B, C, -C} [mm] \subset [/mm] G.
Durch die Matrizenmultipikation bleiben wir also in G. Es existiert ein neutrales Element E und das Inverse ist gegeben durch -A, -B, -C, bzw. -E. Damit sind alle Gruppenaxiome erfüllt.
Offensichtlich ist G nicht abelsch, da bpsw. AB [mm] \not= [/mm] BA.
zu ii)
Wir wissen: Unter ord(A) versteht man die kleinste natürliche Zahl n>0, für die [mm] A^n [/mm] = E gilt, wobei E das neutrale Element der Gruppe ist.
Wir wissen auch: [G:A] = 2 => A ist Normalteiler der Gruppe
Betrachte also [mm] A^4 [/mm] = E. Damit ist ord(A) = 4. Aus Aufgabenteil i) wissen wir: ord(G) = 8. => [G:U] = 8/4 = 2.
G ist semidirektes Produkt echter Untergruppen genau dann, wenn für A [mm] \subset [/mm] G Normalteiler mit G = AB und A [mm] \cap [/mm] B = {E}.
A ist Normalteiler, jedoch gilt nicht: A [mm] \cap [/mm] B = {E}. Es gilt nämlich: A [mm] \cap [/mm] B = {E, -E} .
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei G [mm]\subseteq GL2(\IC)[/mm] die Untergruppe, die von den
> Matrizen
> A = [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }[/mm] und B = [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm]
> erzeugt wird. Zeige:
> i) G ist eine nicht-abelsche Gruppe von Ordnung 8
> ii) G ist nicht isomorph zu einem semidirekten Produkt
> echter Untergruppen.
> Hallo Leute,
> könnt ihr vielleicht mal über meine Lösung schauen?
> Reicht das aus, was ich geschrieben habe oder habe ich
> vergessen, irgendwas zu zeigen?
>
> zu i)
> Seien A,B [mm]\in[/mm] G und E [mm]\in[/mm] G.
Wählst du E hier beliebig?? Falls du mit E die Matrix [mm] $\pmat{1&0\\0&1}$ [/mm] meinst, solltest du das auch schreiben, und nicht "sei [mm] $E\in [/mm] G$".
> Betrachte die verschiedenen Kompositionen auf G:
> (Rechnungen lasse ich jetzt mal weg, das wird sonst zu
> unübersichtlich).
> A² = -E
> B² = -E
> AB = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm] = C
> BA = -C
> C² = -E
> AC = E
> CA = B
> BC = A
> CB = -A
>
> Damit besteht die gesamte Gruppe aus nur 8 Elementen:
> {E, -E, A, -A, B, -B, C, -C} [mm]\subset[/mm] G.
> Durch die Matrizenmultipikation bleiben wir also in G. Es
> existiert ein neutrales Element E und das Inverse ist
> gegeben durch -A, -B, -C, bzw. -E. Damit sind alle
> Gruppenaxiome erfüllt.
Dass $G$ die Gruppenaxiome erfüllt, ist klar, denn $G$ ist definiert als eine erzeugte Untergruppe. Die Frage ist, ob sie Ordnung 8 hat. Du hast oben gezeigt, dass [mm] $\{E, -E, A, -A, B, -B, C, -C\}\subseteq [/mm] G$ gilt. Andersrum müsstest du wenigstens noch erklären, wieso deine Menge abgeschlossen unter Invertierung ist.
> Offensichtlich ist G nicht abelsch, da bpsw. AB [mm]\not=[/mm] BA.
>
> zu ii)
> Wir wissen: Unter ord(A) versteht man die kleinste
> natürliche Zahl n>0, für die [mm]A^n[/mm] = E gilt, wobei E das
> neutrale Element der Gruppe ist.
> Wir wissen auch: [G:A] = 2 => A ist Normalteiler der
> Gruppe
>
> Betrachte also [mm]A^4[/mm] = E. Damit ist ord(A) = 4.
Diese Folgerung ist so nicht korrekt. Etwa gilt auch [mm] $E^4=1$, [/mm] aber [mm] $ord(E)\not=4$.
[/mm]
> Aus
> Aufgabenteil i) wissen wir: ord(G) = 8. => [G:U] = 8/4 =
> 2.
Was ist $U$??
> G ist semidirektes Produkt echter Untergruppen genau dann,
> wenn für A [mm]\subset[/mm] G Normalteiler mit G = AB und A [mm]\cap[/mm] B
> = {E}.
Ist das hier ein anderes $A$ und $B$ als es der Aufgabensteller definiert??
> A ist Normalteiler, jedoch gilt nicht: A [mm]\cap[/mm] B = {E}. Es
> gilt nämlich: A [mm]\cap[/mm] B = {E, -E} .
Zu (ii): Du musst zeigen, dass es gar keine Untergruppen von $G$ gibt, deren semidirektes Produkt $G$ ist, und das nicht nur für spezielle Wahlen zeigen. Ich würde andersrum herangehen. Jedes nichtabelsche semidirekte Produkt muss von der Form [mm] $N\rtimes [/mm] H$ sein mit $N$ von Ordnung $4$ und $H$ von Ordnung $2$. Zeige, dass es nur eine nichttriviale Wirkung einer solchen Gruppe $H$ auf eine solche Gruppe $N$ gibt. Diese führt auf die Diedergruppe der Ordnung $8$ und es genügt zu zeigen, dass diese nicht isomorph zur Quaternionengruppe ist. Es gibt viele Eigenschaften, die diese beide nicht teilen, es genügt, wenn du eine davon angibst.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:05 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> > zu i)
> > Seien A,B [mm]\in[/mm] G und E [mm]\in[/mm] G.
> Wählst du E hier beliebig?? Falls du mit E die Matrix
> [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] meinst, solltest du das auch schreiben, und
> nicht "sei [mm]E\in G[/mm]".
Ja, die meine ich. Danke für den Hinweis, wird geändert :)
> > Betrachte die verschiedenen
> Kompositionen auf G:
> > (Rechnungen lasse ich jetzt mal weg, das wird sonst zu
> > unübersichtlich).
> > A² = -E
> > B² = -E
> > AB = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm] = C
> > BA = -C
> > C² = -E
> > AC = E
> > CA = B
> > BC = A
> > CB = -A
> >
> > Damit besteht die gesamte Gruppe aus nur 8 Elementen:
> > {E, -E, A, -A, B, -B, C, -C} [mm]\subset[/mm] G.
> > Durch die Matrizenmultipikation bleiben wir also in G.
> Es
> > existiert ein neutrales Element E und das Inverse ist
> > gegeben durch -A, -B, -C, bzw. -E. Damit sind alle
> > Gruppenaxiome erfüllt.
> Dass [mm]G[/mm] die Gruppenaxiome erfüllt, ist klar, denn [mm]G[/mm] ist
> definiert als eine erzeugte Untergruppe. Die Frage ist, ob
> sie Ordnung 8 hat. Du hast oben gezeigt, dass [mm]\{E, -E, A, -A, B, -B, C, -C\}\subseteq G[/mm]
> gilt. Andersrum müsstest du wenigstens noch erklären,
> wieso deine Menge abgeschlossen unter Invertierung ist.
Folgt das nicht aus folgendem Satz?
Eine Teilmenge H einer multiplikativen Gruppe G ist eine Untergruppe von G, genau dann, wenn a,b [mm] \in [/mm] H auch ab^-1 [mm] \in [/mm] H für alle a,b gilt.
Außerdem sind reguläre Matrizen abgeschlossen gegenüber Multiplikation und somit ja auch bzgl. des Inversen.
> > Offensichtlich ist G nicht abelsch, da bpsw. AB [mm]\not=[/mm]
> BA.
> >
> > zu ii)
> > Wir wissen: Unter ord(A) versteht man die kleinste
> > natürliche Zahl n>0, für die [mm]A^n[/mm] = E gilt, wobei E das
> > neutrale Element der Gruppe ist.
> > Wir wissen auch: [G:A] = 2 => A ist Normalteiler der
> > Gruppe
> >
> > Betrachte also [mm]A^4[/mm] = E. Damit ist ord(A) = 4.
> Diese Folgerung ist so nicht korrekt. Etwa gilt auch
> [mm]E^4=1[/mm], aber [mm]ord(E)\not=4[/mm].
Aber das war unsere Definition von Ordnung. Und n ist ja die KLEINSTE positive Zahl, für die [mm] A^n=E [/mm] ist. Für E wäre die Ordnung 1, denn [mm] E^1=E. [/mm] Oder habe ich das falsch verstanden?
> > Aus
> > Aufgabenteil i) wissen wir: ord(G) = 8. => [G:U] = 8/4 =
> > 2.
> Was ist [mm]U[/mm]??
Sorry :) U sollte A oder B sein (klappt beides). Haben die in unserem Skript mit B bezeichnet.
> > G ist semidirektes Produkt echter Untergruppen genau
> dann,
> > wenn für A [mm]\subset[/mm] G Normalteiler mit G = AB und A [mm]\cap[/mm] B
> > = {E}.
> Ist das hier ein anderes [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] als es der
> Aufgabensteller definiert??
> > A ist Normalteiler, jedoch gilt nicht: A [mm]\cap[/mm] B = {E}.
> Es
> > gilt nämlich: A [mm]\cap[/mm] B = {E, -E} .
>
> Zu (ii): Du musst zeigen, dass es gar keine Untergruppen
> von [mm]G[/mm] gibt, deren semidirektes Produkt [mm]G[/mm] ist, und das nicht
> nur für spezielle Wahlen zeigen. Ich würde andersrum
> herangehen. Jedes nichtabelsche semidirekte Produkt muss
> von der Form [mm]N\rtimes H[/mm] sein mit [mm]N[/mm] von Ordnung [mm]4[/mm] und [mm]H[/mm] von
> Ordnung [mm]2[/mm]. Zeige, dass es nur eine nichttriviale Wirkung
> einer solchen Gruppe [mm]H[/mm] auf eine solche Gruppe [mm]N[/mm] gibt. Diese
> führt auf die Diedergruppe der Ordnung [mm]8[/mm] und es genügt zu
> zeigen, dass diese nicht isomorph zur Quaternionengruppe
> ist. Es gibt viele Eigenschaften, die diese beide nicht
> teilen, es genügt, wenn du eine davon angibst.
Da muss ich mir nochmal Gedanken zu machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Ich habe mir jetzt nochmal meine Gedanken zu ii) gemacht.
Aus der VL wissen wir über die Diedergruppe nur, dass dies die Symmetrigruppe des Dieders ist. M.a.W: Dn = [mm] {\sigma \in SO3: \sigma (Dn) = Dn} [/mm] und Dn ist isomorph zu [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ. [/mm] Daher weiß ich nicht so ganz, wie mir das bei der Aufgabe helfen soll.
Daher habe ich nochmal versucht, meine alte Argumentation auszubauen:
Die Untergruppen von G sind [mm] \, \ [/mm] und [mm] \ [/mm] mit jeweils 4 Elementen, {-E} besitzt Ordnung 2 und {E} 1 Element.
Jede dieser Untergruppen ist ein Normalteiler:
Untergruppen mit 4 Elementen:
8/4 = 2 => Normalteiler
Untergruppe mit 2 Elementen:
8/2 = 4 => Hier bin ich mir noch unsicher. D.h. doch: G besitzt genau 4 Linksnebenklassen und 4 Rechtsnebenklassen. Und damit ist jede Untergruppe mit 2 Elementen ein Normalteiler.
Untergruppe mit 1 Element:
{E} ist immer ein Normalteiler der Gruppe
Es ist zwar jede dieser Untergruppen ein Normalteiler, aber beim Schnitt hapert es, denn [mm] \\cut\=\\cut\=\\cut\={+-1}.
[/mm]
Wir können für die Quaternionengruppe also keine Zerlegung finden, wie wir sie für ein semidirektes Produkt bräuchten.
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> Ich habe mir jetzt nochmal meine Gedanken zu ii) gemacht.
> Aus der VL wissen wir über die Diedergruppe nur, dass
> dies die Symmetrigruppe des Dieders ist. M.a.W: Dn =
> [mm]{\sigma \in SO3: \sigma (Dn) = Dn}[/mm] und Dn ist isomorph zu
> [mm]\IZ[/mm] / [mm]n\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] / [mm]2\IZ.[/mm] Daher weiß ich nicht so ganz, wie
> mir das bei der Aufgabe helfen soll.
> Daher habe ich nochmal versucht, meine alte Argumentation
> auszubauen:
>
> Die Untergruppen von G sind [mm], [/mm] und [mm][/mm]
> mit
Ich hab hier mal deinen TeX-Code geändert (Eigentlich kann man das auch in ganz normalem Fließtext schreiben).
> jeweils 4 Elementen, {-E} besitzt Ordnung 2 und {E} 1
> Element.
> Jede dieser Untergruppen ist ein Normalteiler:
> Untergruppen mit 4 Elementen:
> 8/4 = 2 => Normalteiler
> Untergruppe mit 2 Elementen:
> 8/2 = 4 => Hier bin ich mir noch unsicher. D.h. doch: G
> besitzt genau 4 Linksnebenklassen und 4 Rechtsnebenklassen.
Ja.
> Und damit ist jede Untergruppe mit 2 Elementen ein
> Normalteiler.
Und wie genau soll das folgen?
> Untergruppe mit 1 Element:
> {E} ist immer ein Normalteiler der Gruppe
> Es ist zwar jede dieser Untergruppen ein Normalteiler,
> aber beim Schnitt hapert es, denn
> [mm]\cap=\cap=\cap\=\{\pm E \}.[/mm]
Auch hier hab den Code geändert zu dem was es vermutlich heißen soll.
Und es wäre sinnvoll auch die Schnitte mit [mm] $\{ \pm E \}$ [/mm] zu erwähnen.
> Wir können für die Quaternionengruppe also keine
> Zerlegung finden, wie wir sie für ein semidirektes Produkt
> bräuchten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 13.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> > Untergruppe mit 2 Elementen:
> > 8/2 = 4 => Hier bin ich mir noch unsicher. D.h. doch: G
> > besitzt genau 4 Linksnebenklassen und 4 Rechtsnebenklassen.
> Ja.
> > Und damit ist jede Untergruppe mit 2 Elementen ein
> > Normalteiler.
> Und wie genau soll das folgen?
Das weiß ich noch nicht so genau :) Ich dachte, dass kann man einfach sagen, weil 4+4 =8. Kann ich das denn irgendwie anders zeigen?
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> > > Untergruppe mit 2 Elementen:
> > > 8/2 = 4 => Hier bin ich mir noch unsicher. D.h.
> doch: G
> > > besitzt genau 4 Linksnebenklassen und 4 Rechtsnebenklassen.
> > Ja.
> > > Und damit ist jede Untergruppe mit 2 Elementen ein
> > > Normalteiler.
> > Und wie genau soll das folgen?
>
> Das weiß ich noch nicht so genau :) Ich dachte, dass kann
> man einfach sagen, weil 4+4 =8. Kann ich das denn irgendwie
> anders zeigen?
Einfach so sagen funktioniert in der Mathematik nicht. Und nein 4+4=8 ist kein Beweis dafür.
Du hast bis jetzt nur Sachverhalte ausgenutzt die für jede Gruppe Gruppe der Ordnung 8 gelten.
Die Behauptung gilt aber nicht für alle Gruppen der Ordnung 8, also musst du irgendwas verwenden das diese Gruppe speziell betrifft, z.B. die konkrete Gestalt der entsprechenden Untergruppen.
Aber wozu brauchst du im beweis überhaupt, dass die Untergruppen der Ordnung 3 Normalteiler sind?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 14.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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